例析圓錐曲線的焦點問題

趙春祥

焦半徑問題

我們把連接圓錐曲線的焦點與曲線上任意一點的連線段稱為它們的焦半徑. 根據圓錐曲線的統一定義，很容易推導出圓錐曲線的焦半徑公式. 下面是用得較多的焦半徑公式：（1）對于橢圓[x2a2]+[y2b2]= 1 （[a>b>0]），[|PF1|=a+ex0]，[|PF2|=a-ex0]. （2）對于雙曲線[x2a2]-[y2b2]=1[（a>0，b>0）]，[|PF1|=ex0+a]，[|PF2|=ex0-a]. （3）對于拋物線[y2=2px（p>0）]，[|PF|=x0+p2].

以上各式中，[P（x0，y0）]是曲線上的一點，[F1]，[F2]分別是橢圓、雙曲線的左、右焦點，[F]是拋物線的焦點.在這里特別強調的是：隨著曲線方程的不同，焦半徑公式也各不相同.利用焦半徑解決問題，簡單明了，它在圓錐曲線中的魅力絕不亞于半徑在圓中的魅力.

例1 如圖，已知梯形[ABCD]中，[|AB|=2|CD|]，點[E]分有向線段[AC]所成的比為[λ]，雙曲線過[C，D，E]三點，且以[A，B]為焦點，當[23]≤[λ]≤[34]時，求雙曲線離心率[e]的取值范圍.

解析 以直線[AB]為[x]軸，線段[AB]的垂直平分線為[y]軸，建立直角坐標系，則[CD⊥y]軸.

因為雙曲線經過點[C，D]，且以[A，B]為焦點，由雙曲線的對稱性可知，[C，D]關于[y]軸對稱.

設雙曲線的焦距為[2c]，則[A，B，C]三點的橫坐標分別為[-c， c， c2]. 由題意得，點[E]的橫坐標為[xE=-c + λ2c1 +λ ].

由雙曲線焦半徑公式得，

[|AE|=-（exE+a）=][ec 1 +λ ]-[λec 2（1 +λ） -a]，

[|BC|=exc-a=ec 2 -a].

而[AC]與[AE]同號，從而[|AC||AE|]=[ACAE]=[1 + λλ].

∴[|AC|=1 + λλ]·[|AE|]

[=1 + λλ?][[ec 1 +λ -][λec 2（1 +λ） -a]]=[ec λ ]-[ec 2 ]-[1 + λλa.]

由雙曲線的定義得，[|AC|-|BC|=2a]，

即（[ec λ ]-[ec 2 ]-[1 + λλa]）-[（ec 2 -a）=2a].

兩邊同除以[a]，并化簡整理得，[（1 λ-1）e2]=[2+1 λ].

∴[e2=2λ + 11 - λ]=[-2+31 - λ].

[∵23][≤λ≤34]，[∴3≤11 - λ]≤4.

∴[7]≤[e]≤[10]. 故所求雙曲線離心率[e]的取值范圍是[[7]，[10]].

點評 凡是遇到雙曲線上的點到雙曲線焦點的距離問題，可考慮使用焦半徑公式來處理.

焦點三角形問題

橢圓或雙曲線上的一點與兩個焦點[F1]，[F2]所成的三角形，常稱之為焦點三角形. 解焦點三角形問題經常使用三角形的邊角關系定理.解題中，通過變形，使之出現[|PF1|+|PF2|]，這樣便于運用橢圓或雙曲線的定義得到[a，c]的關系，從而打開解題思路.

例2 橢圓[x2a2]+[y2b2=1（a>b>0）]與雙曲線[x2m2]-[y2n2]=1[（m>n>0）]有公共焦點[F1]，[F2]，點[P]是它們的一個公共點，設[∠F1PF2=α].

（1）用[b]和[n]表示[cosα]；

（2）求[△F1PF2]的面積[S]（用[b]，[n]表示）.

解析 （1）在[△F1PF2]中，

[|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cosα]，

∵點[P]既在橢圓上，也在雙曲線上，

∴[|PF1|+|PF2|=2a]，[|PF1|-|PF2|=2m].

∴[4c2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1|?|PF2|（1+cosα）]

[=4a2-2|PF1|?|PF2|（1+cosα）]，

[4c2=（|PF1|-|PF2|）2+2|PF1|?|PF2|（1-cosα）]

[=4m2+2|PF1|?|PF2|（1-cosα）].

∴[|PF1|?|PF2|=2b21+cosα]=[2n21-cosα].

∴[cosα]=[b2-n2b2+n2].

（2）由（1）得，

[|PF1|?|PF2|=2b21+cosα]=[2b21+b2-n2b2+n2]=[b2]+[n2].

而sin[α]=[1-cos2α]=[2bnb2+n2]，

∴[SΔ P F 1 F2]=[12|PF1|?|PF2|]·sin[α=bn].

點評 在橢圓和雙曲線中，涉及焦點三角形時，要根據其定義對式子進行配方，橢圓中要配出[|PF1|+|PF2|]，雙曲線中則要配出[|PF1|-|PF2|]，這樣才能回到圓錐曲線的定義把問題轉化.

焦點弦問題

過焦點的直線與圓錐曲線相交，兩個交點的線段叫焦點弦，與焦點弦有關的圓錐曲線問題常用定義（特別是第二定義中的焦半徑公式）將問題轉化.

（1）如果弦[MN]過橢圓的焦點[F1]，設[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]，則[|MN|=a+ex1+a+ex2=2a+e（ x1+x2）].

（2）求雙曲線焦點弦長時，對雙曲線應區分不同情況處理.①如果兩個交點分別在左、右兩支上，則[|AB|=|BF1|-|AF1|]；（見圖一）②如果兩個交點在同一支上，則[|AB|=|AF1|+|BF1|].（見圖二）

[圖一 圖二]

（3）如果拋物線上兩點[M（x1，y1）]，[N（x2，y2）]與焦點[F（p2，0）]共線，則[|MN|=x1+x2+p].

例3 設橢圓方程為[x2a2]+[y2b2]= 1[（a>b>0）]，動點[P]為過橢圓焦點[F（c，0）]的一條弦[M1M2]的中點，求動點[P]的軌跡.

解析 設[M1M2]的方程為[y=k（x-c）]，

∵[P（x，y）]是弦的中點，∴[x=x1+ x22].

則[y = k（x-c） ， ①b2x2 + a2y2 = a2b2 . ②]

聯立[①]②得，[（a2k2][+b2）x2][-2a2k2cx][+a2（k2c2-b2）=0.]

由韋達定理可得，[x1+ x2=2a2k2ca2k2 + b2].

∴[x=a2k2ca2k2 + b2].③

∵[P]在直線[y=k（x-c）]上，

∴[y=k（a2k2ca2k2 + b2-c）][=-b2kca2k2 + b2].④

聯立③④消去參數[k]得，[b2x2]-[b2cx+a2y2]=0.

配方整理可得，

[（x - c2）2（c2）2]+[y2（bc2a）2]= 1. ⑤

當[M1M2]垂直于[x]軸時，其中點是[F（c，0）]，適合方程⑤.

∴過橢圓焦點的諸弦中點的軌跡是橢圓.

點評 橢圓過焦點的諸弦中點軌跡還是一個橢圓，中心在（[c2]，0），長半軸長為[c2]，短半軸長為[bc2a]，離心率[e]=[（c2）2 - （bc2a）2c2]=[ca]，它的離心率恰與原橢圓的離心率[ca]相等. 雙曲線過焦點的諸弦中點軌跡還是雙曲線；拋物線的過焦點的諸弦中點軌跡還是拋物線，可以用類似處理橢圓的方法得到證明.

例4 已知圓[M： （x+2）2+y2]=[254]，圓[N： （x-2）2][+y2]=[14]，動圓[P]與圓[M，N]均外切.

（1）求動圓[P]的圓心的軌跡[C]的方程；

（2）延長[PN]，與曲線[C]交于另一點[Q]，求[|PQ|]的范圍.

解析 （1）設動圓[P]的半徑為[r]，依題意得，[|PM|=r+52]，[|PN|=r-12]，則[|PM|-|PN|=2].

∴點[P]的軌跡是以[M，N]為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支.

∴曲線[C]的方程為[x2-y23=1（x≥1）] .

（2）①當[PQ]的斜率不存在時，易求得，[|PQ|=6].

②當[PQ]的斜率存在時，設[PQ]的方程為[y=k（x-2）]，代入雙曲線方程得，

[（3-k2）x2+4k2x-4k2-3=0].

∵[PQ]與雙曲線右支交于兩點，

∴[3-k2≠0，（4k2）2-4（3-k2）（-4k2-3）>0，4k2k2-3>0，4k2+3k2-3>0.]

[∴k2>3].

∵[N]為雙曲線的焦點，∴[PQ]為焦點弦.

由雙曲線的第二定義得，

[|PQ|=|PN|+|NQ|=]2（[xP]-[12]）+2（[xQ]-[12]）

= 2（[xP]+[xQ]-1）=2（[4k2k2-3]-1）

=6（1+[4k2-3]）>6.

所以[|PQ|]的范圍是[（6，+∞）].

綜上，[|PQ|]的范圍是[[6，+∞）].

點評 曲線[C]僅表示雙曲線的右支，因此直線[PQ]與曲線[C]有兩個交點的充要條件不僅僅是[Δ>0]，還需考慮[x1+x2]，[x1x2]的符號.

例5 已知拋物線[y2=2px]，[F]為焦點，[PQ]為拋物線的一條弦，[O]為拋物線的頂點，[l]為準線.

（1）若[PQ]為焦點弦，連結[PQ]并延長交[l]于[M]點，則直線[MQ∥x]軸；

（2）若[PQ]為焦點弦，過[Q]作對稱軸（[x]軸）的平行線交[l]于[M]點，則[P，Q，M]三點共線；

（3）連結[PO]并延長交準線[l]于[M]點，且[MQ∥x]軸，則[PQ]為焦點弦.

解析 （1）設[P（x1， y1）]，[Q（x2， y2）]，

∵[PQ]為焦點弦，∴[y1y2=-p2].

直線[OP]的方程為[y=y1x1·x]，它與準線的交點[M]的坐標為（-[p2]，[y0]），

所以[y0=y1x1]·（-[p2]） =[2py1]·（-[p2]） =-[p2y1]=[y1y2y1=y2].

故直線[MQ∥x]軸.

（2）設[M（-p2，y2]），

則[kO M]=[y2-p2]=-[2y2p]，[kO P]=[y1x1]=[2py1].

∵[PQ]為焦點弦，∴[y1y2=-p2]，∴[y2=-p2y1].

∴[kO M]=-[2y2p]=[2py1].

∴[kO M]=[kO P].

所以[P，Q，M]三點共線.

（3）連結[PF]并延長交拋物線于[Q′].

由（1）知，[MQ′∥x]軸，

∴[Q]與[Q′]重合.故[PQ]為焦點弦.

點評 由于焦點弦是圓錐曲線中一種特殊的弦，因此，解決此類問題總離不開圓錐曲線的定義.