GPS水準多項式曲面擬合的選取及應用

王佳麗，陳天偉，秦 豪，姚志華

（1.桂林理工大學 測繪地理信息學院，廣西 桂林 541004）

GPS水準多項式曲面擬合的選取及應用

王佳麗1，陳天偉1，秦 豪1，姚志華1

（1.桂林理工大學 測繪地理信息學院，廣西 桂林 541004）

介紹了GPS水準原理及多項式曲面擬合模型，并給出基于模型誤差的函數模型優選準則。以某地區的實測高程異常數據為例，借助Matlab語言工具，重點從殘差和均方差兩方面對平面、相關平面、二次曲面和三次曲面4種多項式擬合模型進行比較分析。結果表明，相關平面擬合模型較優。

GPS水準；多項式曲面擬合；模型誤差；高程異常

GPS能為用戶提供精確的三維坐標、速度和時間，并具有速度快、精度高、操作方便、經濟效益高的優點，在平面控制測量中得到廣泛應用。研究GPS高程的意義有兩個方面[1]：一是精確求定GPS點的正常高；二是求定高精度的似大地水準面。然而GPS提供的大地高無法在實際工程中發揮應有的作用。如何有效利用GPS水準擬合測區的高程異常信息，將大地高轉換為正常高，涉及多個擬合模型的優化選取問題。

1 GPS水準擬合模型

1.1 GPS水準擬合的原理

GPS水準[2]就是在已獲得大地高的GPS點上施測少量的幾何水準點，稱為已知點。反求出已知點的高程異常值，然后采用不同的擬合模型進行計算，求出待求點的高程異常，最后求出待求點的正常高。

正常高與大地高之間的轉換過程[3]可表示為：

式中，Hr為正常高；H為大地高；ζ為高程異常。

1.2 多項式曲面擬合法[4-6]

設測站點的高程異常ζ與坐標（x，y）存在以下函數關系：

式中，f（x，y）為ζ趨勢值；ε為誤差。選用空間曲面函數進行擬合：

式中，ai（i=0，1，2…）為待定參數。將式（3）代入式（2），有：

寫成矩陣形式為：

式中，

再根據式（4）求出各待定點的高程異常ζ，從而求出正常高Hr。下面給出幾個常用的多項式擬合表達式。

平面擬合：

相關平面擬合：

二次曲面擬合：

三次曲面擬合：

1.3 擬合精度評定

為了能客觀評定GPS水準計算的精度，在布設幾何水準點聯測時，應適當多聯測幾個點，以作外部檢核使用。模型精度分為內符合精度和外符合精度。本文使用外符合精度，公式為：

式中，v'為檢核點殘差值；m為檢核點個數。

2 擬合模型的優選理論

2.1 多項式擬合模型階數的確定

對于相關平面擬合模型，其誤差方程為：單獨平差，求得4個參數的最小二乘估計、、、。代入式（12），求得殘差平方和：

則擬合中誤差為：

同樣，二次曲面擬合的殘差平方和記為Ω，擬合中誤差為：

式（14）、（15）中的Ω和ΩH是兩個相關的量，不可直接比較，而且擬合中誤差的大小也不能完全反映上述標準。正確的做法是令：

R是在平面擬合模型中附加了二次項所引起的殘差平方和的改正項。在線性假設檢驗法中已證明R是一個二次型函數，R與Ω相互獨立，且可構造統計量F分布為：

其中，分子自由度為3；分母自由度為n-6。式（8）附加的二次項有1個參數，對統計量F作F分布的右尾檢驗，給出顯著水平α，以α和分子自由度、分母自由度查F分布表，得顯著水平為α的右尾分位值Fα。若式（17）計算的結果F＞Fα，則認為在模型中附加的二次項對擬合結果起了顯著作用[7]，說明擬合時應顧及這些參數，并采用二次曲面擬合作為擬合模型；反之，則采用相關平面擬合。

2.2 函數模型的優選標準

GPS水準擬合函數的優選標準[8]是均方誤差最小。均方誤差為：

實際應用中，模型誤差ε是未知的，對εTRε進行估計：

式中，R是非負定矩陣，εTRε應恒為正值，若為負值，取εTR～ε =0，認為模型誤差ε不顯著。將式（19）代入式（18）進行整理，得均方差估計公式：

式中，V為殘差；σ2為觀測數據的方差。

3 實例分析

3.1 數據介紹

某測區共有36個GPS水準點，GPS點位分布如圖1所示，其高程異常變化如圖2所示。

圖1 GPS水準點位分布圖

圖2 高程異常變化分布圖

3.2 基于殘差的多項式曲面擬合比較

方案一：取14個均勻分布的點（2、4、6、9、14、15、18、22、23、24、25、28、30、32）作為公共點，其他點作為內插點，用不同階次的曲面多項式進行擬合。

方案二：任選14個分布不均勻的點（2、3、5、9、10、11、13、14、18、21、22、23、33、36）作為公共點，其他點作為內插點，分別進行不同階次的曲面多項式擬合。

方案三：取22個均勻分布的點（1、2、4、5、6、8、10、11、12、14、15、16、18、20、22、24、25、28、30、32、33、35）作為公共點，其他點作為內插點，用不同階次的曲面多項式進行擬合。

利用Matlab編程計算，各方案的擬合殘差分布如圖3～5所示。將3個方案的擬合結果進行整合，數據比較見表1。

圖3 方案一多項式曲面擬合殘差分布圖

圖4 方案二多項式曲面擬合殘差分布圖

圖5 方案三多項式曲面擬合殘差分布圖

從圖3可知，當擬合點分布均勻時，三次曲面擬合出現了較大波動，殘差最大值可達到20 cm，擬合效果不佳，而其他3種擬合方法的波動較小，擬合效果都很好。從圖4可知，當擬合點分布不均勻時，三次曲面擬合依舊出現了大波動，平面擬合也略微有起伏，二者的擬合效果不佳，而另外兩種擬合方法的波動較小，擬合效果很好。從圖5可知，當擬合點分布均勻且點數較多時，4種擬合方法都出現了較大波動，擬合效果不太好，這說明擬合起算點數增加時擬合效果并不會隨之提高。針對此測區，方案三并不適合，可排除。

表1 不同分布不同數目擬合點的擬合結果比較/m

結合表1分析，每個方案中三次曲面擬合的外符合精度都不好，而另外三種擬合方法的外符合精度相對較小且很接近，但仔細從數據上看還是有差距的，平面擬合的外符合精度較相關平面和二次曲面差，所以針對此測區，相關平面擬合和二次曲面擬合都適合，平面擬合次之，三次曲面擬合可排除。

3.3 基于均方誤差的多項式曲面擬合比較

方案一：對全部36個水準聯測點，進行不同階次的多項式曲面擬合。

方案二：取其中14個均勻分布且包含高程異常最大、最小值的點（2、4、6、9、14、15、18、22、23、24、25、 28、30、32）作為公共點，其他點作為內插點，進行不同階次的多項式曲面擬合。

方案三：選擇14個分布不均勻的點（2、3、5、9、10、11、13、14、18、21、22、23、33、36）作為公共點，其他點作為內插點，進行不同階次的多項式曲面擬合。擬合結果見表2。

分析表2數據可知，平面擬合的均方差值MSE（δ）最大，可以首先排除，而三次曲面擬合在上述殘差比較中也已排除，現在只需要從相關平面擬合和二次曲面擬合中進行選擇。3個方案中相關平面擬合和二次曲面擬合的MSE（δ）相對較為接近，可再根據統計量F分布來確定擬合多項式的階數。由表2中的計算結果發現，3個方案的F＜F0.0536（F0.0536=4.75），表明引入的附加二次項參數不起顯著作用，可認為相關平面擬合起顯著作用。有文獻指出，擬合多項式的階數越低，法方程系數矩陣結構越好[9]，而二次曲面擬合是二階多項式，相關平面擬合是去掉二次曲面擬合中的x2項和y2項所得，可避免因結點坐標過大引起法方程病態的狀況，在一定程度上提高擬合精度。因此，針對該測區，采用相關平面擬合較為合適。

表2 多項式曲面擬合計算結果/cm

4 結 語

本文通過實例，對相關平面擬合、平面擬合、二次曲面擬合以及三次曲面擬合進行分析比較，為該測區選擇了較為合適的擬合方法，上述4種方法的比較如表3所示。

表3 多項式擬合方法比較

決定最佳擬合模型的標準是均方誤差最小。擬合模型一般都含有模型誤差，應予以補償。首先判斷模型誤差顯著與否，然后再用適當的補償方法進行補償，從而提高擬合精度。這還需要進一步研究。

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P224

B

1672-4623（2016）04-0052-04

10.3969/j.issn.1672-4623.2016.04.017

王佳麗，碩士，主要從事測繪地理信息數據采集與處理方面的工作。

2015-01-07。

項目來源：國家自然科學基金資助項目（41161072）；廣西自然科學基金資助項目（2011GXNSFA018001）；廣西空間信息與測繪重點實驗室資助項目（1207115-08）。