數列新穎題型賞析

■河北省張家口市第一中學

侯鳳云

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數列新穎題型賞析

■河北省張家口市第一中學

侯鳳云

一、等差數列前n項和的最值問題

A．15 B．750

二、等比數列的最值問題

點評：用均值不等式求數列中的最值，既要滿足“一正、二定、三相等”的取等號條件，還注意變量為正整數的隱含條件。特別是根據條件得到的值為非正整數時，應取相鄰的兩個正整數，代入求值然后決定取舍。

三、等差數列與等比數列的類比

點評：由等差數列與等比數列的定義入手，把等差數列中兩數相加類比到等比數列中兩數相乘，等差數列中兩數的差類比到等比數列中兩數相除，等差數列中的“0”類比等比數列中的“1”。

四、數列與新定義的交匯

點評：定義一種新數列，考查數列的有關運算及性質，關鍵是迅速去掉“新定義”的外衣。本題需要理解s為4階公和，t為3階公積的意義，特殊化得到兩個數列的前12項，歸納出周期性進而求得所求數列的S2 016。本題將新定義和數列的通項和性質，以及求和等知識有機地交匯在了一起。

五、數列與抽象函數的交匯

A.f(a2 013)>f(a2 016)

B.f(a2 014)>f(a2 015)

C.f(a2 016)

D.f(a2 014)

解析：抽象函數賦特殊值，再研究其單調性。令x=-1,y=0，得f(-1)·f(0)=f(-1)。因為當x<0時，f(x)>1，所以f(-1)>1，解得f(0)=1，則a1=f(0)=1。

當x>0時，-x<0，f(0)=f(-x)f(x)=1，所以0

設x1,x2∈R，且x10，所以1>f(x2-x1)>0。因此，f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)=f(x1)·[f(x2-x1)-1]<0，即f(x2)

六、數列與函數及不等式的交匯

(1)求證：點M的縱坐標為定值。

(2)由(1)知，x1+x2=1，f(x1)+f(x2)=y1+y2=1。

兩式相加，得：

Tn=a1+a2+a3+…+an

點評：①注意構造等差數列求和公式的推導過程的“倒序相加法”。②使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項。③利用基本不等式求最值時，一定要注意等號成立的條件。

七、數列模型與實際應用問題

例7 某地區發生流行性病毒感染，居住在該地區的居民必須服用一種藥片進行預防，規定每人每天上午8：00和晚上20：00各服一片。現知該藥片每片含藥量為220 mg，人的腎臟每12小時從體內濾出這種藥的60%，該藥物在人體內的殘留量超過380 mg，就將產生副作用。

(1)某人上午8：00第一次服藥，問到第二天上午8：00服完藥后，這種藥在他體內還殘留多少。

(2)若人長期服用這種藥，這種藥會不會對人體產生副作用？請說明理由。

解析：依據實際意義構建相鄰兩項滿足的線性關系求出通項，再構建不等式解決實際問題。

(1)設某人第n次服藥后，藥在體內的殘留量為anmg，則a1=220，第一天晚上服藥后殘留量a2=220+a1×(1-60%)=308，第二天早上服藥后殘留量a3=220+a2×(1-60%)=343.2，即到第二天上午服完藥后，這種藥在他體內還殘留343.2 mg。

故若人長期服用這種藥，這種藥不會對人體產生副作用。

八、數列與數學歸納法的交匯

故an+1-an-3=0或an+1=-an，因an>0，故an+1=-an不成立，舍去。

(2)用數學歸納法證明：

3Tn+1>log2(an+3)。

因為k∈N*，所以(3k+3)3-(3k+5)·(3k+2)2=9k+7>1。

從而3Tk+1+1>log2(ak+1+3)，故當n=k+1時結論也成立。

綜上可知，3Tn+1>log2(an+3)對任何n∈N*成立。

九、數列最值求解中的多種推理方法

例9 設1=a1≤a2≤…≤a2 015≤a2 016，其中a1,a3,a5,…,a2 015是公比為q的等比數列，a2,a4,a6,…,a2 016是公差為1的等差數列，則q最小值為____。

解析：方法1：由題意知q>1，由1=a1≤a2≤a1q≤a2+1≤a1q2≤a2+2≤a1q3得：

1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3。

(責任編輯 徐利杰)