聚焦圓錐曲線的新穎題型

■陜西洋縣中學(xué)

何記英 劉大鳴(特級教師)

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聚焦圓錐曲線的新穎題型

■陜西洋縣中學(xué)

何記英 劉大鳴(特級教師)

圓錐曲線的新穎題型主要有：定義的巧用，離心率的求解，焦點三角形的面積，焦點弦長問題，軌跡方程的探究，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及證明定值、求定點和相關(guān)最值等。求解時常用到設(shè)而不解、整體思維，有時還要用到平面幾何的基本知識和向量的基本方法。

聚焦一 用圓錐曲線定義探求幾何量

圖1

A．b-a=|MO|-|MT|

B．b-a>|MO|-|MT|

C．b-a<|MO|-|MT|

D．b-a=|MO|+|MT|

聚焦二 構(gòu)建不等關(guān)系求圓錐曲線離心率的取值范圍

點評：求離心率的值或取值范圍，常依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造a、c的齊二次式，以及借助基本不等式、平面幾何性質(zhì)和曲線本身范圍構(gòu)建a、c的不等關(guān)系式，本題中構(gòu)建a、c滿足的不等關(guān)系時既用到基本不等式取等號的條件，又用到了雙曲線上任一點到其對應(yīng)焦點的距離不小于c-a的幾何性質(zhì)。

聚焦三 焦點三角形面積問題

聚焦四 與拋物線焦點弦長有關(guān)的問題

圖2

例4 (2016年遼寧省五校高三上學(xué)期聯(lián)考)如圖2，設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A、B兩點。若|AF|=3|BF|，則直線l的斜率為____。

點評：已知拋物線y2=2px(p>0)，過其焦點的直線交拋物線于A、B兩點(如圖2所示)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，用方程研究有以下結(jié)論：

(1)|AB|=x1+x2+p。

(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。

(4)拋物線的通徑長為2p，是過焦點的弦長的最小值。

(5)以AF或BF為直徑作圓，則此圓與y軸相切。

聚焦五 代入法求動點的軌跡方程

圖3

點評：如果動點Q(x,y)依賴于另一動點P(x0,y0)(即相關(guān)點)，而點P(x0,y0)又在某一已知曲線上運動，則可根據(jù)向量關(guān)系、坐標(biāo)關(guān)系列出關(guān)于x0，y0，x，y的方程組，利用x，y表示出x0，y0，再把x0，y0代入已知曲線方程，便可得出動點Q(x,y)的軌跡方程。這種方法是代入法。

聚焦六 定義法探究立體幾何和解析幾何交匯的軌跡方程

圖4

A．圓 B．拋物線

C．雙曲線 D．直線

解析：如圖4所示，過點P作PQ⊥AD，垂足為Q，則PQ⊥平面ADD1A1。過點Q作QR⊥A1D1，垂足為R，則A1D1⊥平面PQR，故PR⊥A1D1。

PR即為點Ρ到直線A1D1的距離，則PR2-PQ2=RQ2=1。又已知PR2-PM2=1，故PQ=PM。由拋物線的定義可知動點Ρ的軌跡是拋物線。

點評：求解立體幾何和平面幾何交匯的動點軌跡問題，關(guān)鍵在于利用空間概念合理轉(zhuǎn)換為平面內(nèi)圓錐曲線的定義。為了得到PQ=PM，將已知條件中“動點Ρ到直線Α1D1的距離與點Ρ到點Μ的距離的平方差為1”用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，即作出點P到線和面的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

聚焦七 參數(shù)法探求動點的軌跡方程

例7 (2015年廣東卷理)已知過原點的動直線l與圓C：x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點A、B。求線段AB的中點M的軌跡方程。

聚焦八 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

(1)求k的取值范圍；

①

因為點C是雙曲線上一點，

點評：設(shè)出直線方程或雙曲線方程，聯(lián)立消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x或y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系時，注意曲線的范圍和兩個交點的隱含條件，構(gòu)建不等式組求參數(shù)范圍或整體代入求解弦長的有關(guān)問題。

聚焦九 點差法探究圓錐曲線的中點弦或?qū)ΨQ問題

圖5

例9 (2015年高考四川卷理科)如圖5，設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A、B兩點，與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點M，且M為線段AB的中點。若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是( )。

A.(1,3) B.(1,4)

C.(2,3) D.(2,4)

點評：凡涉及弦的中點或曲線上存在兩點關(guān)于直線對稱問題，常常采用“點差法”將弦的斜率用中點的坐標(biāo)表示。

聚焦十 巧用定義和三點共線的條件求最值

圖6

點評：應(yīng)用曲線的定義及幾何意義求值、求最值等問題在拋物線中很常見，這里列舉了雙曲線的問題，可見知識的應(yīng)用可以拓展。

聚焦十一 構(gòu)建一元目標(biāo)函數(shù)求最值

聚焦十二 構(gòu)建二元目標(biāo)函數(shù)求最值

聚焦十三 通過特殊情況猜想并證得定點或定值

解析：由m+k=0知m=-k，直線l的方程可化為y=k(x-1)。

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則：

(責(zé)任編輯 徐利杰)