基于二階變分的中制導(dǎo)最優(yōu)彈道修正

雷虎民, 周 覲, 翟岱亮, 張大元, 王華吉, 李寧波

(1. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051;2. 中國人民解放軍95948部隊(duì), 甘肅 酒泉 732750)

?

基于二階變分的中制導(dǎo)最優(yōu)彈道修正

雷虎民1, 周 覲1, 翟岱亮1, 張大元2, 王華吉1, 李寧波1

(1. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051;2. 中國人民解放軍95948部隊(duì), 甘肅 酒泉 732750)

針對反臨近空間高超聲速目標(biāo)攔截作戰(zhàn)過程中的中制導(dǎo)彈道的規(guī)劃與修正問題,設(shè)計了一種最優(yōu)彈道修正算法。首先分析了在中制導(dǎo)階段進(jìn)行彈道規(guī)劃與彈道修正的必要性,基于龐特里亞金最小值原理給出了基準(zhǔn)最優(yōu)彈道滿足的一階必要性條件,其次將一階必要性條件進(jìn)行二階變分,得到控制量的修正量,利用基準(zhǔn)彈道數(shù)據(jù),通過逆向積分,將協(xié)態(tài)變量的偏差量表示為終端約束修正量以及狀態(tài)變量偏差量的表達(dá)式,從而有效解決了協(xié)態(tài)變量偏差量的獲取問題,最后進(jìn)行了多種情形下的數(shù)字仿真,對所提算法進(jìn)行驗(yàn)證并與高斯偽譜法(Gauss pseudospectral method, GPM)進(jìn)行對比。結(jié)果表明,該方法不僅具有較高的求解精度,并且其求解效率遠(yuǎn)高于GPM,有利于彈上在線實(shí)現(xiàn)。

中制導(dǎo); 彈道修正; 二階變分; 最優(yōu)控制

0 引 言

近年來,臨近空間高超聲速飛行器的飛速發(fā)展對我國戰(zhàn)略防御以及國土防空構(gòu)成了嚴(yán)峻威脅,研究反臨近空間高超聲速目標(biāo)的先進(jìn)制導(dǎo)控制技術(shù)迫在眉睫。反臨近空間高超聲速目標(biāo)作戰(zhàn)的難點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下兩個方面:①臨近空間高超聲速目標(biāo)飛行速度一般超過馬赫數(shù)5,可攔截窗口小,這就要求攔截彈具備較高的飛行速度。另外,攔截彈從地面發(fā)射到臨近空間進(jìn)行作戰(zhàn),飛行空域變化較大,這些都對攔截彈的方案彈道提出了多種約束條件。傳統(tǒng)的導(dǎo)引規(guī)律,如比例導(dǎo)引等已經(jīng)很難適用,必須根據(jù)相關(guān)優(yōu)化理論對攔截彈道進(jìn)行離線設(shè)計,以滿足各種約束條件。②臨近空間高超聲速目標(biāo)具有較高的機(jī)動能力,攔截彈發(fā)射前的遠(yuǎn)距離探測對于其飛行軌跡難以進(jìn)行精確的跟蹤與預(yù)測,必須借助攔截彈的彈上設(shè)備進(jìn)行抵近探測,對其軌跡進(jìn)行不間斷的跟蹤、校正與預(yù)測,對預(yù)測命中點(diǎn)等信息進(jìn)行調(diào)整更新。而攔截彈與目標(biāo)較大的相對速度造成攔截過程非常短暫,末制導(dǎo)階段更是轉(zhuǎn)瞬即逝,這就要求攔截彈在中制導(dǎo)階段必須具備一定的在線彈道修正與規(guī)劃能力。

目前有關(guān)中制導(dǎo)彈道規(guī)劃與修正的研究文獻(xiàn)并不是很多,文獻(xiàn)[1]借鑒比例導(dǎo)引方法的思想研究了一種廣義最優(yōu)中制導(dǎo)方法,將中制導(dǎo)末端速度以及預(yù)測命中點(diǎn)位置作為約束條件,分別設(shè)計了時變的速度誤差項(xiàng)系數(shù)以及位置誤差項(xiàng)系數(shù),但對于過程約束并沒有深入考慮。文獻(xiàn)[2]應(yīng)用粒子群優(yōu)化方法,基于地形/威脅模型研究了無人機(jī)的航路規(guī)劃問題。文獻(xiàn)[3-4]首先將彈目運(yùn)動模型進(jìn)行線性化,借鑒彈道成型制導(dǎo)思想設(shè)計了最優(yōu)制導(dǎo)律,然后考慮實(shí)際的非線性彈目運(yùn)動模型,增加了攔截彈的末端角度約束,應(yīng)用龐特里亞金最小值原理推導(dǎo)了最優(yōu)彈道模型,應(yīng)用高斯偽譜法解算出最優(yōu)彈道。文獻(xiàn)[5]以導(dǎo)引頭視角為約束條件,研究了帶有角度約束的中制導(dǎo)律,憑借一定的導(dǎo)引頭視角閾值,將攔截彈彈道分為中制導(dǎo)以及末制導(dǎo)過程,仿真結(jié)果驗(yàn)證了其方法的有效性。文獻(xiàn)[6]采用遺傳算法對中制導(dǎo)彈道規(guī)劃進(jìn)行了求解。文獻(xiàn)[7]針對粒子群優(yōu)化方法收斂速度慢,序列二次規(guī)劃方法對初值敏感并且容易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn),將兩種優(yōu)化方法進(jìn)行了整合,首先采用粒子群優(yōu)化方法對最優(yōu)化問題進(jìn)行求解,當(dāng)最優(yōu)解收斂到一定閾值或迭代超過特定次數(shù)后,采用序列二次規(guī)劃方法,將粒子群優(yōu)化結(jié)果作為其初值,繼續(xù)求解得到全局最優(yōu)解。仿真結(jié)果表明,所設(shè)計的方法具有很好的魯棒性及時效性。文獻(xiàn)[8-9]采用模型靜態(tài)預(yù)測規(guī)劃的方法對中制導(dǎo)彈道規(guī)劃問題進(jìn)行了研究,模型靜態(tài)預(yù)測規(guī)劃基于離散化以后的系統(tǒng)狀態(tài)方程,將最優(yōu)彈道基礎(chǔ)上產(chǎn)生的擾動量作為誤差項(xiàng),在最優(yōu)彈道附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開,通過迭代求解一次性得到最優(yōu)控制量的補(bǔ)償項(xiàng),算法具有高效性及快速性的特點(diǎn),雖然文章主要針對中制導(dǎo)彈道規(guī)劃問題求解,但對于彈道修正方法同樣具有一定的借鑒意義。文獻(xiàn)[10]應(yīng)用變時域鄰域最優(yōu)控制理論研究了月球飛行器的軌道修正問題。首先應(yīng)用龐特里亞金最小值原理,將離線解算得到最優(yōu)軌道相關(guān)矩陣存儲在彈載計算機(jī)中,當(dāng)終端約束條件發(fā)生變化時,將變化量作為擾動值代入到最優(yōu)解的哈密爾頓方程以及狀態(tài)方程中,假設(shè)Clebsch-Legendre條件成立,則可以一步求解,得到原最優(yōu)控制基礎(chǔ)上需要補(bǔ)償?shù)目刂屏?仿真結(jié)果驗(yàn)證了其所提算法的有效性。然而其應(yīng)用對象為剩余時間變化的情況,對于反臨近空間高超聲速目標(biāo)作戰(zhàn)情形中,目標(biāo)在固定的探測頻率下的預(yù)測軌跡變化導(dǎo)致的攔截彈終端位置修正以及姿態(tài)修正問題并不能很好的適用。

以上研究大部分側(cè)重于對于彈道的重新規(guī)劃,針對由當(dāng)前時刻的彈道狀態(tài)、終端期望狀態(tài)以及攔截彈狀態(tài)方程構(gòu)成的彈道優(yōu)化問題,應(yīng)用優(yōu)化算法再次大范圍尋優(yōu)求解,完全舍棄了原有基準(zhǔn)彈道的數(shù)據(jù)。事實(shí)上,當(dāng)調(diào)整后的終端期望狀態(tài)與原來的期望狀態(tài)變化不大的情況下,可以利用原有的基準(zhǔn)最優(yōu)數(shù)據(jù)快速生成一條滿足終端約束的優(yōu)化軌跡[10],本文以此為出發(fā)點(diǎn),通過對基準(zhǔn)彈道的一階最優(yōu)性條件進(jìn)行二階變分,設(shè)計出了一種新的中制導(dǎo)最優(yōu)彈道修正算法。

1 基準(zhǔn)最優(yōu)彈道

1.1 攔截彈運(yùn)動模型

為研究方便并不失一般性,考慮如下縱向平面內(nèi)的攔截彈質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動模型[11]:

(1)

(2)

(3)

(4)

式中,V表示攔截彈速度;P表示作用在攔截彈上的推力。設(shè)定為在開始的20.3 s內(nèi)為常值92.794 kN,燃料燃燒速度為34.796 2 kg/s[12],之后發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī),推力保持為零。q表示動壓;S表示參考面積;g表示重力加速度;θ為彈道傾角;m為攔截彈質(zhì)量;x,y分別為導(dǎo)彈在大地慣性坐標(biāo)系下的位置;Cx,Cy分別為阻力系數(shù)以及升力系數(shù),可以分別表示為馬赫數(shù)Ma和攻角α的函數(shù):

(5)

(6)

1.2 彈道優(yōu)化模型

以t0表示初始時刻,終端時刻tf設(shè)定為攔截彈和目標(biāo)的預(yù)測交會時刻,為保證攔截彈的直接碰撞殺傷效果,一般以終端時刻的速度最大作為優(yōu)化指標(biāo)J,即

J=φ(V(tf),tf)=-Vf

(7)

終端時刻的預(yù)測命中點(diǎn)坐標(biāo)表示為(xf,yf),同時為了在交接班時刻攔截彈能夠達(dá)到合適的姿態(tài),使得導(dǎo)引頭成功探測捕獲目標(biāo),設(shè)定終端時刻的彈道傾角目標(biāo)值為θf。那么終端約束條件可以表示為

(8)

式中,0表示具有相應(yīng)維度的全零矩陣。

在臨近空間高速飛行的攔截彈將經(jīng)歷一系列惡劣的環(huán)境條件[13],與傳統(tǒng)在大氣層內(nèi)飛行的攔截彈相比,其對于彈道的約束更加苛刻,需要考慮各種復(fù)雜約束條件,為了保證彈道的穩(wěn)定性以及可實(shí)現(xiàn)性,對控制量進(jìn)行如下約束:

‖α‖≤αmax

(9)

式中,αmax為最大攻角。

中制導(dǎo)的彈道優(yōu)化模型可以表述為,尋找一系列容許控制量u=α,使之滿足系統(tǒng)動態(tài)方程式(1)～式(4),終端約束式(8),以及過程約束式(9),同時使得指標(biāo)函數(shù)式(7)達(dá)到最優(yōu)。

(10)

然后將終端約束條件引入最優(yōu)性指標(biāo)中得到增廣的優(yōu)化指標(biāo)J′:

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

間接法雖然具有較高的求解精度,但是其收斂域比較小,推導(dǎo)最優(yōu)解的過程較為復(fù)雜和繁瑣,并且協(xié)態(tài)變量的初值設(shè)置難以準(zhǔn)確估計,這些都限制了其在最優(yōu)控制問題求解中的應(yīng)用。

直接法通過把狀態(tài)變量離散化,將連續(xù)的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換成為離散的非線性規(guī)劃問題,然后通過非線性規(guī)劃求解算法得到最優(yōu)解,與間接法相比,直接法的收斂域更加寬廣,近年來興起的高斯偽譜法(Gausspseudospectralmethod,GPM)就屬于直接法中的一種。已證明[15]應(yīng)用GPM得到的最優(yōu)解滿足一階最優(yōu)性條件式(12)～式(16),并且對于協(xié)態(tài)變量也能夠精確獲得,從而確保了其求解的精度。本文中利用GPM方法求解得到基準(zhǔn)最優(yōu)彈道數(shù)據(jù),以上標(biāo)*進(jìn)行表示。

2 最優(yōu)彈道修正

首先,對式(12)～式(16)進(jìn)行二階變分,可以得到:

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

如果?2H/?u2在整個飛行過程中非奇異,那么根據(jù)式(19)可以得到控制量的修正量δu的表達(dá)式為

(22)

從式(22)中可以看出,只要知道系統(tǒng)狀態(tài)量的偏差δX和協(xié)態(tài)量的偏差δλ,根據(jù)基準(zhǔn)最優(yōu)彈道數(shù)據(jù),就可以確定控制量的修正量δu,使之滿足最優(yōu)性條件。但是在實(shí)際工程應(yīng)用過程中,狀態(tài)量的偏差δX可以通過安裝在攔截彈上的傳感器或地面探測設(shè)備解算得到,而對于協(xié)態(tài)量的偏差δλ,并沒有有效的方法進(jìn)行測量或估計,所以必須對其進(jìn)行進(jìn)一步的推導(dǎo),表示成為可以得到的狀態(tài)量。

將式(22)代入到式(17)和式(18)中,狀態(tài)量偏差δX和協(xié)態(tài)量偏差δλ的動態(tài)方程可以表示為

(23)

(24)

式中

(25)

(26)

(27)

δλ(t)=S(t)δX(t)+R(t)dν

(28)

(29)

(30)

(31)

將式(28)代入到式(23)中可以得到

(32)

將式(32)代入到式(30),與式(24)連立,可以得到變量S(t)和R(t)需要滿足動態(tài)方程為

(33)

(34)

同理,將式(32)代入到式(31)中,可以得到變量Q(t)需要滿足動態(tài)方程

(35)

將式(28),式(29)和式(20),式(21)進(jìn)行比較可以得到變量S(t),R(t)和Q(t)的終端約束條件

(36)

(37)

Q(tf)=0

(38)

根據(jù)變量S(t),R(t)和Q(t)的終端約束條件式(36)～式(38)以及動態(tài)方程式(33)～式(35),對其進(jìn)行逆向積分一直到初始時刻t0,根據(jù)式(29)可以解算得到dν的表達(dá)式為

(39)

將式(39)代入到式(28)中,可以得到初始時刻的協(xié)態(tài)量偏差δλ(t0):

(40)

將式(40)得到的協(xié)態(tài)量的偏差δλ(t0)作為初值,利用式(24)進(jìn)行前向積分,就可以得到此后時刻的協(xié)態(tài)量偏差δλ,進(jìn)而通過式(22)就可以得到任意時刻的控制量的修正量δu。

中制導(dǎo)最優(yōu)彈道修正算法框圖如圖1所示,其運(yùn)算步驟如下:

步驟 1 根據(jù)當(dāng)前目標(biāo)信息設(shè)定終端狀態(tài)約束,根據(jù)GPM方法求解彈道優(yōu)化問題,得到基準(zhǔn)最優(yōu)彈道數(shù)據(jù),儲存在彈載存儲設(shè)備中;

步驟 2 對于目標(biāo)狀態(tài)進(jìn)行不間斷更新、預(yù)測,對預(yù)測命中點(diǎn)等信息進(jìn)行修正,如果彈道終端約束狀態(tài)發(fā)生較大變化,則轉(zhuǎn)入步驟3,否則在此步驟進(jìn)行循環(huán);

圖1 中制導(dǎo)最優(yōu)彈道修正算法框圖Fig.1 Block of the optimal midcourse trajectory modification

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出的中制導(dǎo)最優(yōu)彈道修正算法的有效性,開展以下2種情形下的數(shù)字仿真。仿真中的基準(zhǔn)彈道通過GPM Matlab程序包GPOPS計算得到,中制導(dǎo)彈道的初始和終端約束如表1所示。

表1 中制導(dǎo)彈道的初始和終端約束

情形 1 此情形下的攔截想定為,在發(fā)動機(jī)工作階段,攔截彈按照基準(zhǔn)彈道飛行,發(fā)動機(jī)關(guān)機(jī)后無動力飛行階段,對終端預(yù)測命中點(diǎn)進(jìn)行修正,保持終端橫坐標(biāo)不變,高度提高2 km,即預(yù)測命中點(diǎn)修正為(88 000 m,37 000 m),終端彈道傾角約束θf為3°保持不變,將彈道修正算法得到的仿真結(jié)果與GPM得到的結(jié)果進(jìn)行對比,如圖2～圖5所示。

圖2 情形1中的修正彈道Fig.2 Curves of the modified trajectory in scenario one

圖3 情形1中的速度曲線Fig.3 Curves of the velocity in scenario one

從圖2中可以看到,由本文提出的最優(yōu)彈道修正算法得到的彈道以及由GPM得到的彈道都能夠很好地滿足改變以后的終端約束條件,并且兩種方法得到的彈道非常相近,約有80%以上部分發(fā)生重疊,在證明有效性的同時證明了本文方法的最優(yōu)性。從圖3中可以看到,調(diào)整以后的速度曲線與基準(zhǔn)的速度曲線能夠很好的重合,并未發(fā)生很大的變化,從而證明了最優(yōu)彈道修正算法能夠在滿足終端約束的條件下確保優(yōu)化指標(biāo)保持一定的最優(yōu)性。圖4給出了彈道傾角的變化曲線,由于對終端的彈道傾角約束未做改變,最優(yōu)彈道修正算法能夠有效控制其收斂到原來的約束值。從圖5中的控制量比較可以發(fā)現(xiàn),最優(yōu)彈道修正算法得到的修正量整體比較平滑,易于彈上的實(shí)現(xiàn)。表2給出了本文方法和GPM消耗時間的對比,從中可以看出,本文方法的計算效率是GPM方法的43倍,能夠快速準(zhǔn)確得到最優(yōu)修正彈道,主要原因是,本文方法能夠根據(jù)已有的基準(zhǔn)彈道數(shù)據(jù)進(jìn)行計算,而不需要如GPM一樣舍棄原有的基準(zhǔn)彈道數(shù)據(jù),再次進(jìn)行大范圍的參數(shù)尋優(yōu),從而有效節(jié)約了時間,有利于彈道的實(shí)時計算更新。

圖4 情形1中的彈道傾角曲線Fig.4 Curves of the flight path angle in scenario one

圖5 情形1中的控制量曲線Fig.5 Curves of the control commands in scenario one

方法消耗時間/s本文方法0．04高斯偽譜法1．73

圖6 情形2中的修正彈道Fig.6 Curves of the modified trajectory in scenario two

圖7 情形2中的速度曲線Fig.7 Curves of the velocity in scenario two

從圖6中可以看出,最優(yōu)彈道修正算法得到的修正彈道總體比較平滑,滿足了調(diào)整以后的終端狀態(tài)約束,具有較高的求解精度。從圖7中可以看出,調(diào)整以后的速度曲線基本保持了基準(zhǔn)彈道的最優(yōu)性指標(biāo),圖8給出了彈道傾角變化曲線終端的彈道傾角達(dá)到4°,與約束值θf相差1°,基本能夠滿足指標(biāo)要求。從圖9給出的控制量曲線可以看出,控制指令基本比較平穩(wěn),只有在第二次修正時刻出現(xiàn)了比較大的跳變,總體上能夠滿足彈上實(shí)現(xiàn)的需求。

圖8 情形2中的彈道傾角曲線Fig.8 Curves of the flight path angle in scenario two

圖9 情形2中的控制量曲線Fig.9 Curves of the control commands in scenario two

4 結(jié) 論

本文通過對基準(zhǔn)最優(yōu)彈道的一階最優(yōu)性條件進(jìn)行二階變分,推導(dǎo)得到了一種最優(yōu)彈道修正算法。針對反臨近空間高超聲速目標(biāo)攔截作戰(zhàn)過程中終端約束條件發(fā)生變化的情況下,該方法能夠利用基準(zhǔn)最優(yōu)彈道數(shù)據(jù)解算得到最優(yōu)的修正彈道,所得結(jié)果不僅具有較高的精確性,而且避免了傳統(tǒng)優(yōu)化方法的大范圍再次尋優(yōu)求解,有效節(jié)省時間,利于彈上的在線實(shí)現(xiàn)。

[1] Morgan R W, Noseck A P. Generalized optimal midcourse guidance[C]∥Proc.ofthe53rdIEEEConferenceonDecisionandControl, 2014: 260-264.

[2] Kamyar B, Taheri E. Aircraft optimal terrain/threat-based trajectory planning and control[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 2014,37(2):466-483.

[3] Indig N, Ben-Asher J Z, Farber N. Near optimal spatial midcourse guidance law with an angular constraint[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 2014,37(1):214-223.

[4] Indig N, Ben-Asher J Z, Sigal E. Near-optimal minimum time guidance under a spatial angular constraint in atmospheric flight[C]∥Proc.oftheAIAAGuidance,Navigation,andControlConference, 2015:1-29.

[5] Erer K, Tekin R, Ozgoren M K. Look angle constrained impact angle control based on proportional navigation[C]∥Proc.oftheAIAAGuidanceNavigationandControlConference, 2015：1-11.

[6] Cribbs H B. Genetics-based trajectory discovery for tactical missiles[C]∥Proc.oftheAIAA1stIntelligentSystemsTechnicalConference, 2004:1-6.

[7] Wang F B, Dong C H. Fast intercept trajectory optimization for multi-stage air defense missile using hybrid algorithm[J].ProcediaEngineering, 2013, 67: 447-456.

[8] Dwivedi P N, Bhattacharya A, Padhi R. Suboptimal midcourse guidance on interceptors for high-speed targets with alignment angle constraint[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 2011,34(3):860-877.

[9] Halbe O, Raja R G, Padhi R. Robust reentry guidance of a reusable launch vehicle using model predictive static programming[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 2014,37(1):134-148.

[10] Pontani M, Cecchetti G, Teofilatto P. Variable-time-domain neighboring optimal guidance applied to space trajectories[J].ActaAstronautica, 2015,115:102-120.

[11] Zhang D Y, Lei H M, Wu L, et al. A trajectory tracking guidance law based on the sliding mode variable structure control[J].SystemsEngineeringandElectronics, 2014, 36(4):721-727.(張大元,雷虎民,吳玲,等. 基于滑模變結(jié)構(gòu)的彈道跟蹤制導(dǎo)律設(shè)計[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2014,36(4):721-727.)

[12] Muzumdar D V. Guidance laws for a short-range attack missile[D]. Austin: University of Texas,1995.

[13] Zhang D Y, Lei H M, Shao L, et al. Interceptor trajectory programming for near space hypersonic target[J].JournalofNationalUniversityofDefenseTechnology, 2015,37(3):91-96.(張大元,雷虎民,邵雷,等. 臨近空間高超聲速目標(biāo)攔截彈彈道規(guī)劃[J].國防科技大學(xué)學(xué)報,2015, 37(3):91-96.)

[14] Yang X X, Yang H X, Wang P. Overview of pseudo-spectral method and its application in trajectory optimum design for flight vehicles[J].JournalofNationalUniversityofDefenseTechnology, 2015,37(4):1-8.(楊希祥,楊慧欣,王鵬.偽譜法及其在飛行器軌跡優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域的應(yīng)用綜述[J].國防科技大學(xué)學(xué)報,2015, 37(4):1-8.)

[15] Benson D A, Huntington G T, Thorvaldsen T P, et al, Direct trajectory optimization and costate estimation via an orthogonal collocation method[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 2006, 29(6):1435-1440.

Midcourse guidance optimal trajectory modification using the second variation

LEI Hu-min1, ZHOU Jin1, ZHAI Dai-liang1, ZHANG Da-yuan2, WANG Hua-ji1, LI Ning-bo1

(1.AirandMissileDefenseCollege,AirForceEngineeringUniversity,Xi’an710051,China;2.Unit95948ofThePLA,Jiuquan732750,China)

Aiming at the problem of the midcourse trajectory generation and modification in the interception against hypersonic targets in near space, a novel optimal trajectory modification algorithm is designed. Firstly, the demand for trajectory generation and trajectory modification in the midcourse phase is analyzed. The first order necessary conditions for the nominal optimal trajectory are given based on the Pontryagin minimization theory. Secondly, the first order necessary conditions are further differentiated to second variation to acquire the control modifications. The difficulty of the co-states deviations acquisition is solved by reversely integrating using the nominal trajectory information to get the expression with the terminal constraints modifications and the current states derivations. Finally, digital simulations under different scenarios are carried out to testify the effectiveness of the proposed algorithm and the results are compared with those given by the Gauss pseudospectral method (GPM). Simulations results show that the algorithm has the merits of high precision and efficiency than the GPM, which is preferable for the online realization.

midcourse guidance; trajectory modification; second variation; optimal control

2016-04-13;

2016-10-19;網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期:2016-10-27。

國家自然科學(xué)基金(61573374, 61503408)；航空科學(xué)基金(20150196006)資助課題

TJ 765

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.12.19

雷虎民(1960-),男,教授,博士后,主要研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)與控制技術(shù)。

E-mail:hmleinet@21cn.com

周 覲(1989-),男,博士研究生,主要研究方向?yàn)榭仗鞌r截器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

E-mail:zhoujindr@yahoo.com

翟岱亮(1987-),男,博士研究生,主要研究方向?yàn)榭仗鞌r截器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

E-mail:quietzdl@126.com

張大元(1986-),男,博士,主要研究方向?yàn)榭仗鞌r截器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

E-mail:dayuanyjs@163.com

王華吉(1989-),男,博士研究生,主要研究方向?yàn)榭仗鞌r截器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

E-mail:whj20081744@163.com

李寧波(1992-),男,碩士研究生,主要研究方向?yàn)榭仗鞌r截器導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制。

E-mail:904116103@qq.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20161027.1557.010.html