氣動(dòng)彈性系統(tǒng)本征正交分解降階模型精度的參數(shù)影響研究

張鴻志,周強(qiáng),陳剛,李躍明

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安;2.西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院,710049,西安)

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氣動(dòng)彈性系統(tǒng)本征正交分解降階模型精度的參數(shù)影響研究

張鴻志1,2,周強(qiáng)1,2,陳剛1,2,李躍明1,2

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,710049,西安;2.西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院,710049,西安)

為了快速分析跨音速非線性氣彈系統(tǒng)的顫振邊界和響應(yīng)特性,通過本征正交分解(POD)降階方法建立了基于CFD的氣動(dòng)彈性降階模型(ROM)。實(shí)現(xiàn)過程包括對非線性定常CFD流場的小擾動(dòng)泰勒分解,建立基于CFD的全階線性化模型;再通過POD方法得到流體ROM;耦合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程構(gòu)成基于CFD的氣彈ROM。以國際氣彈標(biāo)模AGARD 445.6機(jī)翼為研究對象,系統(tǒng)研究了ROM建立過程中初始流場、響應(yīng)時(shí)間步長和樣本數(shù)據(jù)等重要參數(shù)對于模型精度的影響,并將ROM應(yīng)用于顫振邊界的預(yù)測。研究表明:作為線性化方程建立的定常流場,若收斂性不夠,易導(dǎo)致線性化模型不穩(wěn)定甚至發(fā)散;響應(yīng)計(jì)算中,時(shí)間步長若選取過大將會(huì)導(dǎo)致數(shù)值振蕩、發(fā)散;為捕捉更多的非線性流場特性,系統(tǒng)激勵(lì)后POD樣本的產(chǎn)生需保證足夠的數(shù)據(jù)采集時(shí)間;所建立的ROM具有同原始非線性CFD/CSD系統(tǒng)同樣的精度,是一個(gè)低維度狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型,可直接用于系統(tǒng)特性分析和顫振抑制等設(shè)計(jì)。相比CFD/CSD耦合計(jì)算,ROM在計(jì)算效率上提高了3～6個(gè)量級。

CFD/CSD耦合;降階模型;本征正交分解;顫振

飛行器氣動(dòng)彈性研究飛行器結(jié)構(gòu)與氣動(dòng)力相互耦合關(guān)系,是典型的流固耦合振動(dòng)問題。在空氣跨聲速流動(dòng)階段,由于流體的可壓縮性導(dǎo)致激波運(yùn)動(dòng)、渦脫落等強(qiáng)非線性效應(yīng),升力面法、偶極子法等傳統(tǒng)線性化方法很難處理跨聲速階段流體非線性氣動(dòng)力。目前,基于CFD/CSD耦合計(jì)算飛行器的氣動(dòng)彈性可很好捕捉該階段流體非線性特性,廣泛應(yīng)用于低速、跨聲速和超聲速等非線性流固耦合分析中[1-2],但CFD/CSD耦合計(jì)算時(shí)間耗費(fèi)巨大,特別是對于需要反復(fù)迭代修改的多學(xué)科優(yōu)化初步設(shè)計(jì)階段,從而限制了其廣泛應(yīng)用[3]。近年來,基于CFD的線性、非線性氣動(dòng)彈性模型降階[4-5](ROM)有效克服了這一問題。ROM的主要目的是建立一個(gè)低維的數(shù)學(xué)模型,能很好體現(xiàn)原始系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性,可直接應(yīng)用于氣動(dòng)彈性快速分析、氣動(dòng)彈性主動(dòng)控制[6-7]、顫振優(yōu)化等工程設(shè)計(jì)中。

本征正交分解(POD)降階[8-9]是目前應(yīng)用比較廣泛的降階方法之一,其原理是尋找系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的最優(yōu)特征模態(tài)[10-11],POD方法需建立在流體內(nèi)部流場上,能保留流場中激波等非線性特性,更能反映流體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征,所以初始流場的計(jì)算精度、響應(yīng)計(jì)算的時(shí)間步長、樣本數(shù)據(jù)等參數(shù)的選取對計(jì)算結(jié)果有很大影響。基于CFD的氣動(dòng)彈性POD降階構(gòu)造,尤其對于面向復(fù)雜模型的POD降階求解器精度的影響因素,文獻(xiàn)[8]詳細(xì)研究了基于CFD的氣動(dòng)彈性POD/ROM建模,分析了部分參數(shù)對結(jié)果精度的影響,該研究主要通過頻域方法產(chǎn)生POD樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建ROM系統(tǒng)。但是,頻域方法建立的ROM并不能包含完整流場非線性特性,而本文研究的時(shí)域POD/ROM具有更強(qiáng)的魯棒性,能捕捉更多流場信息,為構(gòu)造高質(zhì)量ROM提供指導(dǎo)性原則和建議。

1 數(shù)值理論基礎(chǔ)

1.1 非線性氣動(dòng)彈性控制方程

基于CFD/CSD耦合求解氣動(dòng)彈性方法是求解流體、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程,通過交界面的數(shù)據(jù)交換,反復(fù)耦合計(jì)算實(shí)現(xiàn)的。氣動(dòng)彈性系統(tǒng)控制方程為

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本文所采用的CFD求解器為結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格求解器,離散格式采用Vanleer格式,時(shí)間推進(jìn)為隱式LU-SGS格式。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)求解采用模態(tài)疊加法,流體固體之間的數(shù)據(jù)傳遞采用基于IPS的插值方法,動(dòng)網(wǎng)格采用基于RBF的TFI動(dòng)網(wǎng)格方法[12]。在CFD求解中的網(wǎng)格數(shù)一般為105～107量級,求解流體動(dòng)力學(xué)方程需通過反復(fù)迭代求解得到,占據(jù)整個(gè)氣彈求解99%以上的計(jì)算時(shí)間和資源,CFD/CSD耦合求解通常需要十幾小時(shí)甚至數(shù)天。

1.2 氣動(dòng)彈性系統(tǒng)線性化方法

對于顫振這類小擾動(dòng)問題,式(1)是一個(gè)強(qiáng)非線性隱式方程,為了得到其顯式表達(dá)式,對式(1)進(jìn)行線性化求解。對于氣動(dòng)彈性系統(tǒng),選取結(jié)構(gòu)未變形的定常狀態(tài)流場作為初始流場,即

(2)

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1.3 POD降階方法

POD降階方法是通過選擇一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本集來構(gòu)造降階過程中所需的變換矩陣來得到降階系統(tǒng)。一系列樣本數(shù)據(jù){xk},xk∈Rn為n維向量,m個(gè)n維樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成一個(gè)大型矩陣,POD方法就是尋找一個(gè)最優(yōu)化的基底向量Ψr=(Ψ1,Ψ2,…,Ψr),r?n,使得投影到該基底子空間的降階系統(tǒng)能很好地保持原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,向量為

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2 基于CFD/CSD的氣動(dòng)彈性求解器

本文的POD/ROM方法是基于CFD/CSD求解器基礎(chǔ)上發(fā)展而來的,計(jì)算采用國際上用于檢驗(yàn)顫振計(jì)算方法的AGARD445.6機(jī)翼標(biāo)準(zhǔn)模型,由于CFD/CSD求解器對于該模型的驗(yàn)證已在文獻(xiàn)[12]中詳細(xì)討論,本文主要分析耦合求解中網(wǎng)格數(shù)量的影響。

CFD的求解與網(wǎng)格的數(shù)量有密切關(guān)系,網(wǎng)格數(shù)越多,求解精度越高,但是計(jì)算量會(huì)成倍增加。本文建立了3套數(shù)量不同的流體網(wǎng)格,網(wǎng)格分布如圖1所示。

(a)網(wǎng)格數(shù)為10萬 (b)網(wǎng)格數(shù)為20萬

(c)網(wǎng)格數(shù)為30萬圖1 不同網(wǎng)格模型機(jī)翼表面流體網(wǎng)格分布

計(jì)算馬赫數(shù)為0.901、來流迎角為0°、速度V為310 m/s、密度ρ為0.099 5 kg/m3狀態(tài)下的氣彈響應(yīng),迭代時(shí)間步長Δt為0.000 1 s,每時(shí)間步迭代次數(shù)為50,不同網(wǎng)格數(shù)量下的升力系數(shù)CL、力矩系數(shù)CM隨時(shí)間的響應(yīng)如圖2所示。本文的結(jié)構(gòu)求解基于模態(tài)疊加法,不同流體網(wǎng)格的第1階廣義模態(tài)位移響應(yīng)比較如圖3所示,廣義模態(tài)力和廣義模態(tài)位移均為無量綱表示。網(wǎng)格數(shù)為20萬和30萬響應(yīng)結(jié)果的幅值、頻率、趨勢基本相同,而網(wǎng)格數(shù)為10萬的響應(yīng)精度不夠,考慮到精度和效率的關(guān)系,本文選取網(wǎng)格數(shù)為20萬的模型作為構(gòu)建ROM的基準(zhǔn)網(wǎng)格。

(a)升力系數(shù)

(b)力矩系數(shù)圖2 不同網(wǎng)格響應(yīng)比較

圖3 不同流體網(wǎng)格的第1階廣義模態(tài)位移響應(yīng)比較

3 降階模型精度的參數(shù)影響分析

ROM是在CFD流場下的線性化小擾動(dòng)模型基礎(chǔ)上得到的,不同的初始條件對降階結(jié)果的精度影響很大,本文主要討論影響降階結(jié)果的重要參數(shù),流體網(wǎng)格選用網(wǎng)格數(shù)為20萬、全階自由度約為100萬的網(wǎng)格。

3.1 定常流場收斂性對線性化模型的影響

為了考察初始流場的影響,選取跨音速狀態(tài)下、馬赫數(shù)為0.901、來流迎角為0°、采用不同迭代次數(shù)的初始流場建立全階線性化模型,選取第1階廣義模態(tài)位移運(yùn)動(dòng)形式為ξ1=0.001sin(2π55.3t)的強(qiáng)制位移,不同流場下的線性化非定常氣動(dòng)力如圖4所示。由圖4可看出,開始的響應(yīng)非常接近,且都很光滑,但計(jì)算幾個(gè)周期后,建立在定常迭代計(jì)算5 000步流場下的線性化模型出現(xiàn)了數(shù)值發(fā)散,而建立在迭代10 000步后的線性化模型很好地保持著數(shù)值穩(wěn)定。由此可知,定常流場的收斂性對線性結(jié)果影響很大。

(a)定常計(jì)算迭代5 000步

(b)定常計(jì)算迭代10 000步圖4 不同流場下的線性化非定常氣動(dòng)力

3.2 時(shí)間步長對線性化計(jì)算的影響

(a)Δt=1×10-4 s

(b)Δt=1×10-5 s圖5 不同時(shí)間步長對計(jì)算結(jié)果的影響

(a)第1階廣義模態(tài)力響應(yīng)

為了驗(yàn)證全階線性化模型建立的正確性,并計(jì)算其在指定模態(tài)位移下的非定常氣動(dòng)力響應(yīng),比較了不同時(shí)間步長下的響應(yīng),結(jié)果如圖5所示。由圖5a可看出,在時(shí)間步長較大時(shí),廣義氣動(dòng)力在開始階段出現(xiàn)了非常大的數(shù)值振蕩,隨著時(shí)間的延長,響應(yīng)曲線逐漸光滑;由圖5b可看出,采用較小時(shí)間步長的氣動(dòng)力響應(yīng)與CFD結(jié)果接近。由此可知,時(shí)間步長越小,越能有效抑制數(shù)值振蕩現(xiàn)象,維持?jǐn)?shù)值穩(wěn)定性,故本文線性化和降階響應(yīng)計(jì)算的時(shí)間步長取為1×10-5s。線性化模型計(jì)算結(jié)果與非定常CFD結(jié)果的比較如圖6所示,不同模型計(jì)算的前兩階廣義模態(tài)力吻合得較好,驗(yàn)證了所建線性化模型具有和CFD相同的計(jì)算精度,為降階計(jì)算及降階氣彈響應(yīng)提供了高精度的數(shù)值模型。

(b)第2階廣義模態(tài)力響應(yīng)圖6 線性化模型與非定常CFD計(jì)算響應(yīng)比較

3.3 樣本數(shù)據(jù)采集的影響

POD降階方法需選擇一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本集,如何選擇合適的數(shù)據(jù)來構(gòu)造轉(zhuǎn)換矩陣,對結(jié)果影響很大。線性化結(jié)果和CFD結(jié)果比較可知,小擾動(dòng)下二者結(jié)果相差不大,故本文采用CFD線性化模型代替非線性CFD/CSD耦合模型。對全階線性化系統(tǒng)方程給予不同的模態(tài)位移脈沖激勵(lì),采集不同時(shí)刻的響應(yīng)數(shù)據(jù),利用所得一系列樣本數(shù)據(jù),通過POD算法得到轉(zhuǎn)換矩陣,進(jìn)而將高維度的全階系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成低維度的ROM。不同的樣本采集間隔對降階氣彈響應(yīng)的影響如圖7所示,該降階系統(tǒng)階數(shù)為500。由圖7可看出,樣本采集間隔的選取對結(jié)果基本上沒有太大影響,只要保證總響應(yīng)時(shí)間相同,時(shí)間步長選取在合理范圍對氣彈響應(yīng)結(jié)果影響不大。

圖7 樣本采集間隔不同對結(jié)果的影響

4 降階結(jié)果分析與顫振預(yù)測

4.1 不同階數(shù)結(jié)果比較

由POD降階數(shù)學(xué)理論可知,POD計(jì)算的奇異值百分比εp按從大到小依次排列,如圖8所示,對應(yīng)數(shù)值越大所反映的系統(tǒng)能量越多,高階以后所反映的能量可忽略不計(jì)。不同階數(shù)的降階系統(tǒng)在馬赫數(shù)為0.678、來流速度為240 m/s狀態(tài)下氣動(dòng)彈性響應(yīng)如圖9所示。由圖9可看出,300階與500階降階系統(tǒng)結(jié)果隨著時(shí)間變化出現(xiàn)明顯的差異,且差異越來越大,而580階與500階結(jié)果幾乎沒有差異,一直保持同一響應(yīng)趨勢。因此,降階系統(tǒng)階數(shù)越高,其精度越高,而超過一定階數(shù)后提高階數(shù)對結(jié)果影響不大。

圖8 Hankel 奇異值百分比分布

圖9 不同階數(shù)結(jié)果預(yù)測比較

4.2 顫振邊界預(yù)測

給定馬赫數(shù)和攻角,采用POD/ROM建立的氣動(dòng)彈性降階系統(tǒng),可通過改變動(dòng)壓,并觀察其在不同動(dòng)壓下的響應(yīng)來尋找顫振動(dòng)壓。給降階系統(tǒng)一個(gè)小的初始擾動(dòng),本文以1階模態(tài)速度作為擾動(dòng),不同動(dòng)壓下的氣彈響應(yīng)如圖10所示。與CFD/CSD耦合計(jì)算一樣,降階系統(tǒng)響應(yīng)趨勢隨著動(dòng)壓的改變而改變。Ma=0.678、V=250 m/s時(shí),其響應(yīng)出現(xiàn)發(fā)散,全階和降階系統(tǒng)吻合得非常好;當(dāng)V減小到230 m/s時(shí),系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)收斂現(xiàn)象。臨界顫振速度在230～250 m/s之間時(shí),通過試算可得該狀態(tài)下速度為240.8 m/s,而通過CFD/CSD耦合計(jì)算得到的結(jié)果約為240 m/s,此結(jié)果非常接近。這說明對于顫振預(yù)測,本文所建ROM和CFD/CSD耦合計(jì)算具有同樣的精度。ROM求解該響應(yīng)過程,計(jì)算時(shí)間約為2 s,而CFD/CSD耦合計(jì)算時(shí)間約為16.7 h。而且,指定馬赫數(shù)下建立的ROM對動(dòng)壓參數(shù)變化具有高保真性,可快速預(yù)測不同動(dòng)壓的響應(yīng),方便地找到顫振邊界,計(jì)算效率提高了幾個(gè)量級。

(a)V=250 m/s

(b)V=230 m/s圖10 不同動(dòng)壓下的氣彈響應(yīng)

在不同馬赫數(shù)下建立相應(yīng)的降階模型,通過改變動(dòng)壓來預(yù)測顫振邊界,可得所研究系統(tǒng)隨馬赫數(shù)變化的顫振邊界,顫振速度作歸一化處理,結(jié)果如圖11所示,降階模型預(yù)測的結(jié)果和CFD/CSD耦合計(jì)算的結(jié)果非常接近。

圖11 AGARD 446.5機(jī)翼顫振邊界比較

5 結(jié) 論

本文通過POD降階方法建立了基于CFD的氣動(dòng)彈性ROM。以三維標(biāo)模AGARD 445.6機(jī)翼為研究對象,系統(tǒng)研究了ROM建模過程中幾個(gè)重要參數(shù)對降階精度的影響。流場的收斂性對線性結(jié)果影響很大,流場收斂性不夠易導(dǎo)致線性化響應(yīng)結(jié)果發(fā)散;響應(yīng)計(jì)算中時(shí)間步長過大易導(dǎo)致數(shù)值結(jié)果在開始階段劇烈振蕩;對于產(chǎn)生的樣本數(shù)據(jù),總的響應(yīng)時(shí)間一樣,樣本采集間隔選取在合理范圍對氣彈響應(yīng)結(jié)果影響不大,所以數(shù)據(jù)的產(chǎn)生必須保證足夠的響應(yīng)時(shí)間。

ROM與非線性CFD/CSD耦合計(jì)算結(jié)果比較分析表明:POD/ROM能很好保持原始非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性,與CFD/CSD耦合計(jì)算具有相同的精度;計(jì)算效率上,ROM提高了3～6個(gè)量級,將數(shù)百萬階的大型系統(tǒng)降階成數(shù)百階低維系統(tǒng),可直接應(yīng)用于氣動(dòng)彈性快速分析和多學(xué)科設(shè)計(jì)上。

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(編輯 趙煒)

Effects of Some Parameters on the Accuracy of Aeroelastic Proper Orthogonal Decomposition Reduced Order Model

ZHANG Hongzhi1,2,ZHOU Qiang1,2,CHEN Gang1,2,LI Yueming1,2

(1. State Key Laboratory for Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China; 2. School of Aerospace, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

To quickly analyze the flutter boundary condition and response characteristics of transonic nonlinear aeroelastic systems, a CFD based aeroelastic reduced order model (ROM) was built in this paper through a proper orthogonal decomposition (POD) method. To implement this process, a full order linearized time domain model was built firstly by Taylor expression on the nonlinear steady CFD flow field; then a fluid ROM was obtained through the POD method Afterwards, an aeroelastic ROM was built by coupling the fluid ROM with structural dynamic equations. An international standard model AGARD 445.6 wing was taken as the test case to illustrate the results. Some important parameters in ROM establishment such as steady flow field, time step and the process of generation of sample dates were systematically studied. The research indicates that if the steady flow field doesn’t have good convergence performance, the linearized model may have unstable and that the responses may have numerical oscillation and become unstable as the large time step is selected in the ROM calculation. In order to capture more flow characteristics of the flow field, the generation of POD sample dates should ensure adequate response time. The ROM built in this paper has the same accuracy with the nonlinear CFD/CSD coupling system and it is a low order state space model which can be applied to system characteristics analysis and flutter suppression design. Compared with CFD/CSD coupled method, the computational efficiency can be improved about 3 to 6 orders.

CFD/CSD coupling; reduced order model; proper orthogonal decomposition; flutter

2016-05-11。 作者簡介:張鴻志(1989—),男,碩士生;陳剛(通信作者),男,教授。 基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272005,11472206,11371288,11511130053);陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2016JM1007)。

10.7652/xjtuxb201611016

V211

A

0253-987X(2016)11-0104-06