彎曲斜螺旋線的數學模型研究與應用

馬建國，姚運萍，張小奇，陳惠賢

（1.蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州 730050；2.中國科學院近代物理研究所，蘭州 730000）

彎曲斜螺旋線的數學模型研究與應用

馬建國1，姚運萍1，張小奇2，陳惠賢1

（1.蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州 730050；2.中國科學院近代物理研究所，蘭州 730000）

針對彎曲斜螺線這類非回轉體零件做回轉運動出現的問題進行研究，從空間幾何的角度對斜螺線旋轉的要素進行分析，由球體，環面螺旋線的數學模型延伸到螺旋線鼓形體，斜螺旋線橢球體，進一步得出任意起點斜螺線彎管的數學模型，最終提出了彎曲斜螺旋線做回轉運動的數學方程。然后通過MATLAB對其數學模型進行仿真驗證，得到彎曲斜螺旋線的通用數學模型。為后續彎曲斜螺旋線的加工提供理論依據。

斜螺旋線；鼓形體；數學模型；仿真

0　引言

隨著超導技術的迅猛發展，超導技術在高能物理、交通運輸、醫學影像、航天航海等諸多領域應用越來越廣泛[1]。而作為超導技術核心的超導線圈技術，因為其難以估量的應用價值，獲得世界各科研組織的重視。

線圈骨架這類零件的形狀隨著超導技術的發展而不斷改進，從回轉體到非回轉體，圓柱體到彎曲柱體……總之，形狀、功能復雜多變，不可一概而論，其數學模型更是相差甚遠[2]。盡管通用柱形線圈骨架的大小不一，種類較多，但總體來說，屬于回轉形骨架[3～5]。此類通用線圈骨架的相關研究已經頗為成熟。但是，在某些大型或特殊的超導、核技術、電力元件等行業，都需要用到異形線圈，如超導儲能裝置（如圖1所示）、風力發電機、加速器等。這些線圈的骨架使用較少，加工難度極高，加工效率普遍較低。本文主要研究超導技術中支撐超導儲能裝置線圈的斜螺線骨架，即線圈龍骨。本文所述的彎曲斜螺線線圈骨架，屬于超導技術發展所帶來的新的異形零件，目前還沒有發現相關加工工藝的研究，但是研究纏繞機的部分學者對彎管纏繞技術做了大量研究，得出了纏繞時出現打滑，架橋等問題的解決方案。

圖1　超導儲能裝置

本文將對這類非回轉體零件做回轉運動出現的問題進行研究，從空間幾何的角度對其數學模型逐步推到。得到可靠地數學模型。并然后通過MATLAB對其數學模型進行仿真驗證，從而得到可靠正確的非回轉體零件做回轉運動的數學模型。

1　非回轉體零件做回轉體運動的數學模型

1.1球體的數學模型

由空間幾何可知，球面可以分解為：母線半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面。而球面所圍成的幾何體叫做球體，其中半圓母線的方程為：

以y軸旋轉后的球體曲面方程為：

1.2環面螺旋線數學模型的建立

根據圓柱螺旋線的形成原理，設在圓K上有一點A（如圖2所示）繞圓K的圓心O1作等角速度旋轉時，圓K繞著與其共面的軸OZ作等角速度旋轉，則點A的軌跡即為環面螺旋線[6]。故環面螺旋線空間方程為：

圖2　環面螺旋線形成原理

其中R為圓環半徑，r為螺旋管的半徑，α為圓環母線自轉角度，θ為半徑為r的螺旋線旋轉的角度。θ經過變形為2πn（n=1,2,3…，表示螺旋線繞過的圈數）后有如下方程：

1.3鼓型體數學模型的建立

由球體數學模型方程可知，球體母線方程經過偏心移動，然后圍繞O-O軸旋轉后便可得到鼓型體方程[7]，如圖3所示。故有鼓形體的母線參數方程為：

由空間幾何可知，鼓形面可以分解為：鼓形母線以經過偏置(y0, z0)的與z軸平行軸為旋轉軸，旋轉所成的曲面。所以，鼓形面的方程為：

圖3　鼓形體形成原理

1.4螺旋線彎管數學模型的建立

根據空間解析幾何，聯立環面螺旋線數學模型（3）和鼓形體的數學模型（6），借用鼓形體的成型機理，將鼓形面的母線換成是環面螺旋線，便可推導出的螺旋線彎管的數學模型方程為：

聯系式(4)的思想，進一步的推導，則有如下方程：

其中，n為螺旋線紋的圈數，α為環形螺旋弧長對應的角度。

斜螺線彎管模型如圖4所示。

圖4　斜螺線彎管模型

1.5斜螺旋線彎管數學模型的建立

斜螺旋線彎管數學模型與螺旋線彎管數學模型的差別在于：多了一個螺旋線傾斜角β（angle of inclination）。傾斜角是直線與X軸正方向所成的角。而本文中的傾斜角為普通環面螺旋線與傾斜螺旋線切線的夾角，如圖5中β所示。

圖5　斜螺線傾斜角

由幾何知識，結合環形數學模型、斜螺線的數學模型與鼓形體的數學模型，由式(1)至式(8)可知，傾斜螺旋線彎管數學模型方程為：

其中，q.sin(α)決定傾斜角β的大小，其系數q越大，則傾斜角β越大，反之亦然。

1.6任意角度起點斜螺旋線彎管數學模型的建立

任意角度起點就是改變空間曲線的起始位置，換言之，將空間曲線起始位置旋轉任意φ后，所得到的圖形。由空間幾何知識可知，任意角度起點傾斜螺旋線彎管數學模型方程為：

空間曲線旋轉45°后的系列組圖如圖6所示。

圖6　任意角度起點圖形模型

1.7斜螺旋線彎管曲線做回轉運動數學模型的建立

聯立環面螺旋線數學模型(3)、鼓形體的數學模型(6)和任意角度起點斜螺旋線彎管數學模型(10)，將斜螺旋線彎管曲線建立在y-z平面，圖形中心正好位于z軸上，且關于y軸對稱的位置，繞y軸做旋轉運動，便可得到斜螺旋線彎管曲線做回轉運動時的數學模型，故而推出斜螺旋線彎管曲線做回轉運動時的數學模型為：

其中δ為回轉體運動的角度，若恰好旋轉一周時，則δ取為360°。

總結上面的推導過程，我們已經得到了鼓形體、螺旋線彎管曲線、任意角度起點斜螺旋線彎管曲線、斜螺旋線彎管曲線做回轉運動數學模型等多種復雜曲面的數學模型。實際中，彎曲螺旋線的傾角δ大小由q.sin(α)確定，其系數q，p，δ的取值都要根據零件的具體情況酌情而定，不可一概論之。

2　斜螺旋線彎管曲線做回轉運動數學模型的應用

隨著超導技術的迅猛發展，超導技術在諸多領域應用越來越廣泛。而作為超導技術關鍵部件的超導線圈骨架，也隨著超導技術的發展，形狀也越來越復雜。某超導技術的線圈形狀方程接近斜螺旋線彎管曲線，經過近似處理后得到如下數據：

由將以上參數代入斜螺旋線彎管數學模型方程(9)，可得此超導線圈形狀方程如式(12)所示。

當t取32π××時，該超導線圈的圖形顯示如圖7所示。

圖7　某超導線圈t=32π××時的空間模型

依第二部分數學模型知識可知，要使該斜螺旋線空間曲線在空間旋轉，進一步了解曲線上的點的軌跡，以斜螺旋線彎管曲線做回轉運動時的數學模型可知，必須將圖形按任意角度起點數學模型旋轉90°。使得斜螺旋曲線關于y軸對稱，才滿足式(10)的數學模型條件，進而圍繞z軸旋轉。將式(12)按式(10)改變圖形后得到圖8所示。

圖8　超導斜螺線改變圖形起點后的模型

此圖形的數學模型如式(13)所示。

超導線圈的空間曲線圍繞z軸旋轉所得的空間方程如式(14)所示。

以式(13)便可得到此超導線圈的空間曲線的運動軌跡如圖9所示。

圖9　超導斜螺線圈數為3時的軌跡

超導線圈的空間曲線圍繞z軸旋轉所得的空間旋轉軌跡如圖10所示。

圖10　超導斜螺線圈數為3做轉空間旋轉的軌跡

得到的超導線圈繞z軸旋轉曲面的空間造型如圖11所示。

圖11　超導斜螺線圈數為3時的旋轉空間曲面圖

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3　結論

通過對斜螺線彎管為代表的非回轉體零件做回轉運動出現的問題進行研究，從空間幾何學的角度對斜螺線旋轉的要素進行分析，從橢球體，鼓形體的數學模型進一步延展到螺旋線鼓形體，斜螺旋線橢球體，進一步得出任意起點斜螺線彎管的數學模型，從而得到非回轉體零件做回轉運動的數學模型。然后通過MATLAB對其數學模型進行仿真驗證，從而得到斜螺線彎管做回轉運動的數學模型。為后續二次開發的研究提供了理論基礎。

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Research on the mathematical model of bending oblique spiral

MA Jian-guo1, YAO Yun-ping1, ZHANG Xiao-qi2, CHEN Hui-xian1

TH126；TP301

A

1009-0134(2016)07-0089-04

2016-03-18

馬建國（1990 -），男，甘肅定西人，碩士，研究方向為CAD/CAM、數控復雜型面精密加工技術。