數(shù)字卷積加減速控制算法研究

邱煥能，歐元賢

（華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640）

數(shù)字卷積加減速控制算法研究

邱煥能，歐元賢

（華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640）

數(shù)控系統(tǒng)的加減速控制是其關(guān)鍵技術(shù)之一。提出了一種新穎的基于數(shù)字卷積的加減速控制算法，可使數(shù)控系統(tǒng)在加工過程中實(shí)現(xiàn)平滑連續(xù)的運(yùn)動(dòng)，保持加速度連續(xù)變化，避免急速的運(yùn)動(dòng)帶來的機(jī)構(gòu)磨損、系統(tǒng)沖擊、共振等問題，保證加工精度。推導(dǎo)了連續(xù)數(shù)字卷積規(guī)劃方法的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并給出了算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了算法的有效性及實(shí)用性。相比于傳統(tǒng)的S曲線加減速規(guī)劃，該算法的計(jì)算效率大為提高。

數(shù)字卷積；加減速控制；數(shù)控系統(tǒng)；S曲線

0　引言

現(xiàn)代加工領(lǐng)域?qū)Ω呔雀咚俣燃庸さ囊笤絹碓礁撸俣瓤刂剖瞧渲械暮诵募夹g(shù)。在數(shù)控加工中，為保證加工的精度，應(yīng)避免急速的運(yùn)動(dòng)帶來的系統(tǒng)沖擊、共振等問題，機(jī)床的運(yùn)動(dòng)應(yīng)具有平滑性。現(xiàn)階段常用的加減速控制方法有直線加減速、S曲線加減速等方法。直線加減速[1]的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡單，對(duì)硬件要求不高，但其缺點(diǎn)也是十分明顯：在加減速階段其加速度有突變，對(duì)數(shù)控系統(tǒng)產(chǎn)生沖擊，影響加工精度。S曲線加減速在高性能數(shù)控系統(tǒng)中更為常用，在文獻(xiàn)[2]中，其將加減速過程分段考慮，通過對(duì)加加速度的控制來限制速度的變化。但是這種方法將加減速過程分為加加速段、勻加速段、減加速段、勻速段等七個(gè)階段，再分別計(jì)算每個(gè)階段的速度，以實(shí)現(xiàn)加速度連續(xù)的加工過程，其計(jì)算繁復(fù)，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜。近年來，還有其他的柔性加減速算法被提出來。文獻(xiàn)[3]提出運(yùn)用濾波技術(shù)，在傳統(tǒng)的直線加減速算法后串聯(lián)一個(gè)滑動(dòng)平均濾波器，對(duì)速度進(jìn)行平滑規(guī)劃，并證明了對(duì)直線加減速算法做滑動(dòng)平均規(guī)劃與S曲線加減速等效。Jeon Jae Wook[4]提出，基于多項(xiàng)式的加減速方法為滿足約束條件，其計(jì)算量將隨多項(xiàng)式階數(shù)以指數(shù)方式增加，計(jì)算負(fù)擔(dān)非常大。他提出了一種基于卷積的加減速方法，能夠高效的得到平滑過渡的曲線。在此基礎(chǔ)上，Geon Lee[5]提出了一種新穎的基于卷積的軌跡生成方法，通過引入約束條件，可得到高階連續(xù)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

論文以數(shù)字卷積理論為基礎(chǔ)，提出了數(shù)控系統(tǒng)中基于數(shù)字卷積的加減速控制算法，詳細(xì)推導(dǎo)了數(shù)字卷積加減速控制算法的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并給出了算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟。

1　卷積運(yùn)算

卷積是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，對(duì)兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行卷積運(yùn)算可得到一個(gè)新的函數(shù)，其定義如下：

假設(shè)h(t)與x(t)為參與卷積的兩個(gè)函數(shù)，輸出為y(t)。定義h(t)是一個(gè)面積為1的矩形函數(shù)：

函數(shù)x(t)為定義于0≤t≤tx的任意函數(shù)，滿足狄利克雷（Dirichlet）條件[6]，由此可得到：

上述的卷積運(yùn)算有以下三個(gè)性質(zhì)：

1）時(shí)間延長：y(t)的非零域相比x(t)延長th時(shí)間。

2）積分不變：y(t)與x(t)二者的積分相同，即：

證明過程如下：

假設(shè)X(s)，H(s)，Y(s)分別為x(t)，h(t)與y(t)的拉普拉斯變換，那么，的拉普拉斯變換可表示為X(s)/s，同樣，的拉普拉斯變換可表示為Y(s)/ s。由卷積定理可得：

由終值定理：

其中，H(s)可表示為：

運(yùn)用洛必達(dá)法則：

因此：

3）最大值有界：經(jīng)過卷積運(yùn)算后的y(t)的最大值不大于x(t)的最大值。

假設(shè)x(t)與y(t)的最大值分別為xm，ym，y(t)在tm時(shí)刻有最大值，故：

特別的，當(dāng)x(t)在不小于th的時(shí)間歷程里都維持x(t)=xm時(shí)，ym=xm。

2　連續(xù)卷積

若機(jī)床沿直線從點(diǎn)P0運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P1，兩端點(diǎn)距離為L。假設(shè)加工過程中數(shù)控系統(tǒng)的最大進(jìn)給速度為vm，加速度為速度的一階導(dǎo)數(shù)，即a=dv，am表示最大加速度；同理，加加速度表示為，最大加加速度為。令：

公式(11)中，v0=vm，t0=L/vm。y0(t)與坐標(biāo)軸包圍的矩形面積即為L。

將y0(t)與h(t)作卷積運(yùn)算，輸出為y1(t)，再對(duì)y1(t)作一次卷積運(yùn)算得到y(tǒng)2(t)。通過連續(xù)的兩次卷積運(yùn)算，可以從一個(gè)矩形的速度方波得到S型的加減速速度曲線，如圖1所示。

圖1　對(duì)矩形函數(shù)連續(xù)卷積

假設(shè)0≤th≤t0，可求出y1(t)的表達(dá)式為：

再對(duì)y1(t)作一次卷積運(yùn)算，得到：

可知加速度a為分段連續(xù)的一次函數(shù)：

若加速度最大值表示為am，其加加速度最大值表示為，則：

dy2(t)及ddy2(t)的曲線圖如圖2、圖3所示。

圖2　卷積函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)

圖3　卷積函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

因此，若數(shù)控系統(tǒng)以y2為進(jìn)給速度曲線，其在整個(gè)加工過程中將經(jīng)歷平滑的加減速過程，系統(tǒng)的加速度連續(xù)變化。由加加速度的變化可將這個(gè)過程分解為加加速階段、減加速階段、勻速段、加減速階段、減減速階段，加加速度的值在各個(gè)階段中均是定值。

由第1節(jié)卷積運(yùn)算的三個(gè)性質(zhì)還可知道，將系統(tǒng)的進(jìn)給速度進(jìn)行卷積規(guī)劃后，

1）時(shí)間延長：加工時(shí)間將延長2th；

2）終點(diǎn)可達(dá)：經(jīng)過速度規(guī)劃后執(zhí)行部件仍可達(dá)到預(yù)定目標(biāo)點(diǎn)；

3）速度限制：卷積后的速度不超過原來的最大速度。

3　數(shù)字卷積

在數(shù)控系統(tǒng)中，執(zhí)行部件的運(yùn)動(dòng)需要用插補(bǔ)算法控制，在已知點(diǎn)間的路徑上插補(bǔ)一系列的期望中間點(diǎn)，因此需要將連續(xù)卷積法轉(zhuǎn)化為離散領(lǐng)域中的卷積運(yùn)算，稱為數(shù)字卷積。假設(shè)從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間歷程為t，插補(bǔ)周期為Ts，th為h(t)的脈沖寬度。假設(shè)0≤th≤t，定義：

由式(19)和式(20)可知，應(yīng)用數(shù)字卷積法求解插補(bǔ)點(diǎn)的速度值可通過遞歸方法求得，只包含加法和除法運(yùn)算。相比傳統(tǒng)的S曲線加減速控制算法，其表達(dá)高效簡潔，計(jì)算量大為減少。

4　數(shù)字卷積算法的實(shí)現(xiàn)

以直線運(yùn)動(dòng)為例，連續(xù)數(shù)字卷積加減速控制算法的規(guī)劃過程如下：

1）給定初始條件

（1）給定初始點(diǎn)位置P0、最終點(diǎn)位置P1；

（2）給定約束條件：最大進(jìn)給速度vm、最大加速度am、插補(bǔ)周期Ts。

2）求解運(yùn)動(dòng)的長度L

從點(diǎn)P0運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)P1，那么P0P1可表示為：

P0與P1的距離L為：

其單位方向的矢量為：

3）由約束條件求解插補(bǔ)點(diǎn)個(gè)數(shù)n、m

4）運(yùn)用數(shù)字卷積法求解插補(bǔ)點(diǎn)的速度vi

令y0=vm，由式(19)和式(20)分別求出各個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)的速度vi。其中，0≤i≤n+2m。

5）求解插補(bǔ)點(diǎn)的位置坐標(biāo)

插補(bǔ)點(diǎn)到初始點(diǎn)的距離si為：

則Pi的坐標(biāo)也可表示為：

5　計(jì)算實(shí)例

在MATLAB軟件上實(shí)現(xiàn)上述的直線運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，令初始點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：

單位為mm。限制最大進(jìn)給速度為200mm/s，加速度最大值為1000mm/s2，插補(bǔ)周期設(shè)為1ms。經(jīng)過插補(bǔ)之后得到的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)如圖4所示，求解其速度及加速度，列為圖5。

圖4　直線加減速運(yùn)動(dòng)（mm）

圖5　插補(bǔ)點(diǎn)速度（mm/s）及加速度（不考慮方向）（mm/s2）

由圖5可以看到，系統(tǒng)在作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度在前后的加減速階段其波形呈三角形，其最大值在限制條件內(nèi)，在中間階段恒為零；加速度連續(xù)變化，沒有產(chǎn)生突變。所得到的速度曲線變化平滑，沒有沖擊，在經(jīng)過了平滑加速后速度達(dá)到穩(wěn)定，并維持在額定的最高速，最后再經(jīng)過平滑減速后降為零。

6　結(jié)論

在現(xiàn)代加工過程中，數(shù)控系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)應(yīng)具有平滑性，加減速過程中應(yīng)避免加速度的突變，避免其帶來的系統(tǒng)沖擊、共振及機(jī)構(gòu)磨損等問題，以保證加工精度。現(xiàn)階段常用的加減速控制方法有直線加減速、S曲線加減速等方法。直線加減速計(jì)算簡單，但加工過程中加速度有突變；S曲線加減速具有良好的柔性，但其計(jì)算繁復(fù)，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜。論文提出了一種基于數(shù)字卷積的柔性加減速控制算法，可使系統(tǒng)在加工過程中保持加速度連續(xù)變化。首先詳細(xì)推導(dǎo)了數(shù)字卷積法的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并證明了經(jīng)過數(shù)字卷積規(guī)劃后系統(tǒng)具有良好的柔性，然后給出了算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟，最后通過實(shí)例證實(shí)了算法的有效性。

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Study of digital convolution based acc/dec control algorithm

QIU Huan-neng, OU Yuan-xian

TP271+.4

A

1009-0134(2016)07-0065-04

2016-03-16

廣州市科技計(jì)劃項(xiàng)目資助（2013J4300012）

邱煥能（1991 -），男，廣東汕尾人，碩士研究生，研究方向?yàn)闄C(jī)器人控制和先進(jìn)加工技術(shù)。