從確定的數(shù)到抽象的字母

田載今

人們?yōu)槭裁匆米帜副硎緮?shù)？什么是整式？數(shù)的運(yùn)算和整式的運(yùn)算有哪些相似之處？請(qǐng)大家認(rèn)真聽田老師講一講吧。

數(shù)的產(chǎn)生既來(lái)源于實(shí)際生產(chǎn)和生活的需要，又來(lái)源于研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的需要，例如，為區(qū)別收入1元和支出1元，可以將它們分別記為1元和-1元，而有了-1，像1-2這類“小減大”的數(shù)學(xué)問(wèn)題也得以解決。

每個(gè)數(shù)都是一個(gè)具體確定的值，由數(shù)組成的算式的運(yùn)算結(jié)果也是確定的值，例如，1+2表示l和2這兩個(gè)大小確定的值相加，所得結(jié)果3也是一個(gè)確定的值，正因?yàn)閿?shù)具有確定性，所以人們研究確定的量時(shí)離不開數(shù)，

數(shù)的確定性雖然使數(shù)能精確地表示量的大小，但是又使數(shù)的使用受到限制，研究一股性問(wèn)題時(shí)，只有具體的數(shù)就不夠了，例如，要用式子表示加法交換律，就不能用l+2：2+l，也不能用2+3=3+2，因?yàn)檫@樣的式子都只能表示“某兩個(gè)具體的數(shù)相加時(shí)，交換加數(shù)的位置，和不變”，而加法交換律是一般運(yùn)算律，它適用于任意兩個(gè)加數(shù)，不能用某兩個(gè)具體的數(shù)來(lái)表示，研究含有未知數(shù)的數(shù)量關(guān)系時(shí)，同樣不能只用具體的數(shù)，例如，要用式子表示“某個(gè)數(shù)的3倍比另一個(gè)數(shù)的2倍大1”，就要注意這里的“某個(gè)數(shù)”和“”一個(gè)數(shù)”都是未知數(shù)，雖然用具體的數(shù)可列出3×5=2x7+l，3x7=2x10+1，3x9=2x13+1等一系列式子，但是滿足這一數(shù)量關(guān)系的“某個(gè)數(shù)”和“另一個(gè)數(shù)”有無(wú)窮多組，用有限多個(gè)式子無(wú)法完全表示它們。

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們?cè)絹?lái)越關(guān)注一般性問(wèn)題，含有未知數(shù)的數(shù)量關(guān)系成為人們經(jīng)常研究的內(nèi)容，這促使數(shù)學(xué)語(yǔ)言也要與時(shí)俱進(jìn)，突破只能使用具體的數(shù)的限制，為此，人們逐漸想到用抽象的符號(hào)代替具體的數(shù)，而字母就是一種使用起來(lái)很方便的符號(hào)，例如，用式子a+b=6+a表示加法交換律，這里的字母a和b沒(méi)有確定的值，它們可以表示任意兩個(gè)數(shù)，于是這個(gè)式子就有了一般性，義如，用式子3x=2y+1表示“某個(gè)數(shù)的3倍比另一個(gè)數(shù)的2倍大l”，這里的字母x和y沒(méi)有確定的值，它們可以表示滿足這一關(guān)系的任意兩個(gè)數(shù)，包括“x=5，y=7”“x=7，y=10”“x=9 y=13”等無(wú)窮多種情形。

代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，清代學(xué)者華蘅芳在他和英國(guó)人傅蘭雅合譯的西方數(shù)學(xué)著作《代數(shù)學(xué)》的卷首寫道：“代數(shù)之法，無(wú)論何數(shù)，皆可以任何記號(hào)代之，”這顯示出代數(shù)的基本方法起源于用符號(hào)表樂(lè)數(shù)，

1591年，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)（1540-1603）最先在數(shù)學(xué)著作中系統(tǒng)地用字母表示數(shù)，韋達(dá)認(rèn)為：用字母表示數(shù)，可使一般性問(wèn)題成為研究對(duì)象，讓數(shù)學(xué)從傳統(tǒng)的側(cè)重于數(shù)的運(yùn)算的算術(shù)中得到發(fā)展，韋達(dá)的創(chuàng)舉促進(jìn)了代數(shù)學(xué)的誕生，因此他被后人稱為“代數(shù)學(xué)之父”。

有了用字母表示數(shù)的創(chuàng)舉，式子中便可以出現(xiàn)字母（字母還可以表示未知數(shù)），這樣的式子更適合用來(lái)研究一般性問(wèn)題，所以這種由數(shù)與字母組成的式子成為代數(shù)研究的基本內(nèi)容。

人教版初中數(shù)學(xué)教科書的第二章是“整式的加減”，整式是一種最簡(jiǎn)單的代數(shù)式，加減法是最基本的整式運(yùn)算，運(yùn)算的主要方法是合并同類項(xiàng)，這一章是代數(shù)式內(nèi)容的入門章，也是大家后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)。

在代數(shù)式中，字母的地位比數(shù)要高，式子的分類，一般以其中字母的情況為標(biāo)準(zhǔn)，例如，區(qū)分整式與分式的方法是看分母中是否含有字母，整式中可以有分母，但分母中不能有字母，例如，a/2的分母中沒(méi)有字母，它屬于整式：2/a的分母中有字母，它不屬于整式，

因?yàn)檎街械淖帜甘怯脕?lái)表示數(shù)的，所以它們可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算，數(shù)的運(yùn)算法則和規(guī)律對(duì)整式的運(yùn)算仍然適用，整式也有加減乘除四則運(yùn)算，人教版教科書中分兩次安排了這些內(nèi)容，第二章只討論整式的加減運(yùn)算，乘除運(yùn)算到八年級(jí)再討論，通過(guò)第一章的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道，在有理數(shù)的運(yùn)算中，減法可以轉(zhuǎn)化為加法，減去數(shù)a就等于加上它的相反數(shù)-a，這樣加減法就可以統(tǒng)一了，因此，整式的加減法也可以統(tǒng)一起來(lái)認(rèn)識(shí)，都看作求代數(shù)和的加法。

電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明是20世紀(jì)人類最偉大的成就之一，在它的發(fā)明和應(yīng)用過(guò)程中，用字母表示數(shù)的方法發(fā)揮了重要作用，下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：要給計(jì)算機(jī)編制一個(gè)程序，求l+2+3+…+19999+20000的和，圖1是對(duì)應(yīng)的程序框圖，這是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)的計(jì)算過(guò)程，其中的字母i表示一個(gè)取值從1開始，逐次加1，直至20001為止的變量：字母S表示隨著加數(shù)不斷增加而逐漸增大的和，計(jì)算機(jī)開始運(yùn)行程序后，字母i作為加數(shù)按1，2，3，…，20000的順序逐次加到5中：字母5作為和按O，0+l，0+l+2，0+1+2+3，…，0+1+2+3+…+19999+20000的順序增大，當(dāng)i=20 001時(shí)，計(jì)算結(jié)束，輸出最終結(jié)果200010000，可以看出。字母i和S在程序中有非常重要的作用。

從確定的數(shù)到抽象的字母，研究對(duì)象的發(fā)展是數(shù)學(xué)前進(jìn)的一座里程碑，正如數(shù)學(xué)家華羅庚所說(shuō)：“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是抽象，正因如此，用符號(hào)表示數(shù)就更具有優(yōu)越性和廣泛的應(yīng)用性。”