探解題方法 悟價值取向
——基于一道中考試題的分析

王競進

探解題方法 悟價值取向
——基于一道中考試題的分析

王競進

對于一道高質量的中考試題，教師既要引導學生運用所學知識探求試題的解法，又要挖掘試題背后所隱含的教學價值。教師在平時的教學中要以試題或例題為載體，使得解題教學從純粹的學習解題方法走向學習學科思維，促進學生數學核心素養的形成。

例題教學；解法分析；運算能力；價值取向

一道高質量的中考試題，能夠反映出命題者對數學知識內容的深度領悟、對數學本質的準確把握以及對今后教學工作的期待和導向。有研究者提出，衡量中考數學試題質量的高低，首先是看在符合中考性質的前提下，其試題立意的高低。試題的基本價值立場、價值態度以及所表現出來的基本價值傾向和對教學的引導與促進作用就是試題的價值取向。筆者以為2016年江蘇省鹽城市中考數學試題第18題就是一道高質量的試題，本題無論在知識立意還是能力考查方面，都充分體現了命題者對數學知識的整體把握和對今后教學工作的導向。本文試以此題為例，探究不同的解答方法，感悟其蘊含的價值取向。

一、試題呈現

如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，點E、F分別在邊AB、AD上。若將△AEF沿直線EF折疊，使得點A恰好落在CD邊的中點G處，則EF=_______。

圖1

二、試題解答探究

本題的圖形中是否隱含著基本圖形呢？由于四邊形ABCD是菱形且∠A=60°，因此，其中隱含著兩個等邊三角形，分別為△ABD和△BCD。同時，圖形中的△AEF與△CEF是關于EF折疊，因此AG必定被折線EF垂直平分，點O為線段AG的中點，因此，利用圖形的性質構造分別含有線段EO和FO的兩個三角形相似，便可求得其長度，因此，得到如下解法。

【解法一】如圖2，連接BG、AG、BD，過點G作GH⊥AD，垂足為H。設AG、BF交于點O。

因為四邊形ABCD是菱形，所以AB∥CD，BC= CD。

因為∠A=60°，所以∠C=60°，所以△BCD是等邊三角形。

因為點G是邊CD的中點，所以∠BGC=90°，∠ABG=90°。

除了上述的解法一外，是否還有其他解法呢？由于圖形中的△AEF與△GEF是關于EF折疊，因此AG必定被折線EF垂直平分，即四邊形AEGF的對角線互相垂直，由菱形的面積等于對角線乘積的一半，可以聯想到類推對角線互相垂直的四邊形面積也等于對角線乘積的一半，因而從圖形面積的等積角度展開探索，得到了如下的解法。

【解法二】如圖2，連接BG、AG、BD，過點G作GH⊥AD，垂足為H。設AG、BF交于點O。

圖2

因為四邊形ABCD是菱形，所以AB∥CD，BC= CD。

因為∠A=60°，所以∠C=60°，所以△BCD是等邊三角形。

因為點G是邊CD的中點，所以∠BGC=90°。

因為△AEF與△GEF是關于 EF折疊的，△AEF≌△GEF，所以AE=EG，AF=FG。

解法一與解法二都是利用隱含的線段BG與邊CD垂直關系，分別構造相似的兩對三角形求得邊長以及應用勾股定理求得線段長。能否直接以線段EF為直角三角形的邊進行入手呢？因此，沿著這樣的思路，得到了如下的解法。

【解法三】如圖3，連接BG、AG、BD，過點F作FH⊥AB，垂足為H，交CD延長線于點I。

圖3

因為四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，所以∠IDF=60°，DF=2DI，FI=

同方法二，可得AF=FG。設DI=x，則DF=2x，FI=

Rt△GFI中，IF2+GI2=FG2，即解得即AF=FG=2-2x=

當然，如果將菱形ABCD放到平面直角坐標系內，那么圖形中的點B、C、D、G的坐標都是確定的，因此，圖形中的點E、F的坐標也是確定的，則線段EF的長度也是確定的，由此可以得到了基于坐標系的第四種解法。（具體過程略）

三、教學價值取向分析

首先，重視課本例題、習題的教學。

本題源于蘇科版《數學》八年級下冊第95頁第21題：在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8。

（1）將矩形紙片沿BD折疊，點A落在點E處(如圖4-①)，設DE與BC相交于點F，求BF的長；

（2）將矩形紙片折疊，使點B與點D重合(如圖4-②)，求折痕GH的長。

圖4-①

圖4-②

本題較好地體現了命題設計源于課本又高于課本的理念，本題的設計重心落腳在考查學生對特殊平行四邊形的性質、等邊三角形的性質、圖形變換的性質、圖形的全等、相似和勾股定理等知識的掌握，同時考查了學生運算能力和方程思想的運用。因此，在平時的教學中，我們要重視教材中典型例題和習題的應用，靈活地以課本習題為母題進行深入研究、適度的演變、引申和拓展，科學地引導學生進行探究、分析、總結、發展，以鞏固基礎知識的掌握、基本技能的形成。

其次，重視基本圖形的積累教學。

一道綜合題中往往都蘊含著一個或幾個簡單的基本圖形，只要平時加強基本圖形的教學，掌握好基本圖形及其性質，能從復雜圖形中分離出基本圖形，再從基本圖形出發進行推理，由基本圖形的類比、變化中得到解題思路，從而實現復雜圖形的基本化。本題的解法盡管并不唯一，但他們都抓住了圖形中的基本圖形，因而出現了從不同的思維角度解決問題的策略。解法一，能夠根據菱形ABCD中∠A=60°，聯想到圖形中隱含著兩個等邊三角形，并從等邊三角形的性質、軸對稱圖形的性質入手，構造了兩對三角形相似求得線段長；解法二，根據圖形中隱含的四邊形對角線互相垂直，聯想到由菱形的面積公式，并類推其面積也等于對角線乘積的一半，再從圖形面積相等這一角度展開探索求得結果；解法三，直接以所求線段為直角三角形的斜邊構造直角三角形，以直角三角形為基本圖形展開探求對應線段長的過程；解法四，能夠根據圖形的特征將其放到平面直角坐標系內，得到圖形中的相應點的坐標、直線的函數表達式，因此，抓住圖形中的基本點E、F的坐標求得線段EF的長度。

最后，重視學生運算能力的培養。

從考生考后反饋的信息來看，不少學生認為本題的解題思路有了，但由于自己的計算基本功不扎實，而導致沒有能夠求得正確的結果。《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調：“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。”“在‘數與代數’的教學中，應幫助學生建立數感和符號意識，發展運算能力和推理能力，初步形成模型思想。”因此，運算能力是數學課程標準所提出的核心素養之一，平時的教學不可忽視，更不能以“運算耽誤時間”“影響思考時間”而降低運算能力的培養。教學中，我們要讓學生養成計算步步有根據、有充足的理由的習慣，提醒學生注意運算的順序，提高運算的簡捷性。

［1］左坤.中考數學試題的價值取向［J］.中學數學教學參考：中旬，2010（12）.

［2］董林偉.義務教育教科書·數學八年級下冊［M］.南京：江蘇科技出版社，2014.

［3］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

G633.6

A

1005-6009（2016）54-0034-03

王競進，江蘇省建湖縣匯文實驗初中教育集團（江蘇建湖，224000）教師，高級教師，鹽城市學科帶頭人。