基于導(dǎo)航點改進(jìn)Gauss偽譜法規(guī)劃滑翔導(dǎo)彈航跡

牛曉潔,李邦杰,舒健生,潘樂飛,楊奇松

(火箭軍工程大學(xué) 初級指揮學(xué)院,西安 710025)

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基于導(dǎo)航點改進(jìn)Gauss偽譜法規(guī)劃滑翔導(dǎo)彈航跡

牛曉潔,李邦杰,舒健生,潘樂飛,楊奇松

(火箭軍工程大學(xué) 初級指揮學(xué)院,西安 710025)

為了研究滑翔導(dǎo)彈的航跡規(guī)劃問題,利用優(yōu)化理論,規(guī)劃了多約束條件下導(dǎo)航點之間的航跡。基于導(dǎo)航點位置改進(jìn)Gauss偽譜法(Gauss pseudospectral method,GPM),利用改進(jìn)GPM離散控制變量和狀態(tài)變量,將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題,利用改進(jìn)序列二次規(guī)劃算法求解。GPM求解分段航跡規(guī)劃問題,需要迭代獲取下段航跡的飛行時間,降低了算法效率。改進(jìn)GPM能夠有效彌補(bǔ)單純以時間為自變量帶來的諸多規(guī)劃中的不足,具有更為寬泛的優(yōu)化目標(biāo)適應(yīng)能力。算例結(jié)果表明,改進(jìn)后的算法能夠準(zhǔn)確、高效地規(guī)劃一條合理的航跡,滿足飛行約束條件。

滑翔導(dǎo)彈;航跡規(guī)劃;改進(jìn)高斯偽譜法

助推-滑翔導(dǎo)彈是高科技戰(zhàn)爭中常實施的殺手锏之一,其航跡規(guī)劃問題作為關(guān)鍵技術(shù)之一值得研究[1]。早期的研究采用解析法求解軌跡優(yōu)化問題,但由于在處理復(fù)雜的非線性系統(tǒng)時力不從心,學(xué)者們開始把研究焦點轉(zhuǎn)向數(shù)值方法,一般分為間接法和直接法[2]。近些年,直接法中的偽譜法由于其高精度、高效率,在軌跡優(yōu)化方面得到了廣泛的應(yīng)用[3]。高斯偽譜法[4]是2005年由麻省理工的Benson給出的一種新的求解最優(yōu)控制問題的直接方法,并從理論上證明了高斯偽譜法與最優(yōu)控制理論中的一階必要條件是一致的。GPM是將狀態(tài)變量和控制變量在一系列Gauss點上進(jìn)行離散,最終可將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為受一系列代數(shù)約束的參數(shù)優(yōu)化問題,即非線性規(guī)劃問題[5]。

許多文章都對GPM進(jìn)行了研究,主要分為3大類:一是給定相應(yīng)的指標(biāo)泛函設(shè)計航跡,如文獻(xiàn)[6]以最大橫程為優(yōu)化指標(biāo),利用高斯偽譜法求解了升力式飛行器的再入軌跡,文獻(xiàn)[7]基于高斯偽譜法以飛行時間為優(yōu)化指標(biāo)對滑翔彈道進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計;二是建立模型解決軌跡優(yōu)化問題,如文獻(xiàn)[8]基于高斯偽譜法研究了助推-滑翔飛行器多階段軌跡優(yōu)化問題,文獻(xiàn)[9]針對瞄準(zhǔn)對抗問題建立了多階最優(yōu)控制模型,基于GPM對飛機(jī)瞄準(zhǔn)目標(biāo)問題進(jìn)行了研究;三是利用GPM對控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計,如文獻(xiàn)[10]利用Gauss偽譜法對滑翔段到巡航段的過渡段控制率進(jìn)行了設(shè)計。

GPM對時間變量進(jìn)行歸一化處理,求解分段航跡規(guī)劃問題時,需要迭代獲取下段航跡的飛行時間,增加了計算量,降低了算法效率。提出了一種利用導(dǎo)航點位置改進(jìn)GPM的新思路,以經(jīng)度或者緯度為自變量進(jìn)行歸一化處理。由于導(dǎo)航點位置可以提前確定,在求解分段航跡規(guī)劃問題時,避免了因為迭代時間導(dǎo)致的算法效率降低的問題。本文中以經(jīng)度或者緯度為自變量的GPM方法,可以有效地彌補(bǔ)單純的以時間為自變量帶來的諸多規(guī)劃中的不便,具有更為寬泛的優(yōu)化目標(biāo)適應(yīng)能力,以滿足諸如速度控制、能量管理等優(yōu)化目標(biāo)。文中以經(jīng)度為例進(jìn)行算法設(shè)計,并進(jìn)行了仿真驗證。

1 滑翔段軌跡優(yōu)化問題

1.1 無動力滑翔運(yùn)動模型

考慮地球為旋轉(zhuǎn)圓球時,高超聲速飛行器無動力再入運(yùn)動方程為[11]

(1)

式中:ω,r,v,γ,ψ,λ,B,γc,Fx,Fy分別為地球自轉(zhuǎn)角速度、地心距、速度、飛行路徑角、航向角、經(jīng)度、緯度、傾側(cè)角、氣動升力和阻力。航跡角是速度向量與當(dāng)?shù)厮矫娴膴A角,向上為正。航向角是速度向量在當(dāng)?shù)厮矫嫱队芭c正北方向的夾角,順時針旋轉(zhuǎn)為正。

文中研究導(dǎo)航點之間的航跡規(guī)劃問題均在滑翔段完成,在北天東坐標(biāo)系下確定導(dǎo)航點位置后,滑翔導(dǎo)彈飛行的縱向二維平面也就確定了。為了便于研究,該段航跡規(guī)劃時,假設(shè)忽略射面外的運(yùn)動,僅以二維即只關(guān)注射面內(nèi)的飛行參數(shù),則規(guī)劃式的動力學(xué)模型與動力學(xué)模型都如下式所示:

(2)

式中:u,vr,Θ,h分別為切向速度、法向速度、速度傾角和高程。

1.2 約束條件

為保證飛行器在滑翔段飛行的穩(wěn)定性,本文考慮了滑翔過程中的相關(guān)約束條件,包括控制量約束和彈道約束:熱流密度、動壓和過載等[12]。

1.2.1 控制約束

考慮導(dǎo)彈滑翔過程的實際情況,控制量應(yīng)滿足一定約束,即

αmin≤α≤αmax

(3)

設(shè)定攻角的變化范圍為10°～20°,變化率不超過5(°)/s,基于三自由度模型,假定控制系統(tǒng)能夠保證導(dǎo)彈在豎直平面內(nèi)滑翔飛行,文中取導(dǎo)航點之間導(dǎo)彈飛行的縱向二維平面與東天面的夾角為定值。

1.2.2 熱流約束

(4)

1.2.3 動壓約束

q=ρv2/2≤qmax

(5)

式中:ρ為大氣密度,文中取飛行器可承受的最大動壓qmax=60kPa。

1.2.4 過載約束

(6)

式中:CD,CL,S分別為氣動阻力系數(shù)、升力系數(shù)和氣動參考面積。左邊表達(dá)式為法向氣動過載,右邊為飛行器可以承受的最大過載,文中取nmax=4。

2 改進(jìn)思路及模型

2.1 改進(jìn)思路

GPM改進(jìn)背景及思路:在滑翔導(dǎo)彈滑翔過程中,處于某一位置時相對于開始時刻的時間不能很好、快速地獲取,但所處位置的經(jīng)緯度能夠通過計算得出,若是能對經(jīng)緯度進(jìn)行歸一化處理,將原有GPM中速度對時間求導(dǎo)的約束條件轉(zhuǎn)化為速度對經(jīng)緯度求導(dǎo)的約束條件,將會簡化問題的復(fù)雜程度,提高計算效率。

2.2 經(jīng)緯度歸一化模型

已知兩導(dǎo)航點經(jīng)、緯度坐標(biāo),可以求得相對于北天東坐標(biāo)系下兩導(dǎo)航點間的弧線段與Oxz平面之間的夾角σ,以及弧線段在經(jīng)、緯度方向的跨度大小。根據(jù)跨度大小決定以緯度B或經(jīng)度λ為基準(zhǔn)進(jìn)行歸算處理,即若經(jīng)度λ方向跨度大就將經(jīng)度λ歸算到τ。

(7)

2.2.1 經(jīng)度歸一化

改進(jìn)GPM將2個導(dǎo)航點之間對應(yīng)的經(jīng)度λ標(biāo)準(zhǔn)化為區(qū)間τ∈[-1,1]之間的量,因此對經(jīng)度作如下變換:

(8)

可以看出經(jīng)度λ與τ呈現(xiàn)一一對應(yīng)的關(guān)系,并且單調(diào)遞增。

對應(yīng)的高程變量有:

(9)

其他狀態(tài)變量同理可得。

2.2.2 高斯偽譜法配點選擇

綜合考慮航跡規(guī)劃問題,程序中采用K階Legendre多項式的根以及τ0=-1作為離散節(jié)點,Legendre多項式為

(10)

2.2.3 狀態(tài)變量和控制變量選擇

在航跡規(guī)劃時,選擇攻角作為控制量。由于K階Legendre多項式共有K+1個根,則作為控制量的攻角可表示為

α=(α1α2…αK+1)

(11)

狀態(tài)量在對應(yīng)時域下的值為

(12)

2.2.4 拉格朗日插值函數(shù)

狀態(tài)變量為

(13)

2.2.5 構(gòu)造等式約束

將式(7)與經(jīng)狀態(tài)變量表達(dá)式求導(dǎo)后的函數(shù)式聯(lián)立,可得等式約束式為

(14)

2.2.6 目標(biāo)函數(shù)

為了提高航跡規(guī)劃的效率,文中選擇最短滑翔時間作為性能指標(biāo)泛函:

(15)

3 求解優(yōu)化問題的算法流程

3.1 航跡規(guī)劃問題流程分析

首先利用改進(jìn)GPM離散最優(yōu)控制問題,利用二次規(guī)劃算法,求解近似原問題的二次規(guī)劃子問題來近似求解原問題。將典型二次規(guī)劃問題進(jìn)行簡化分析,轉(zhuǎn)化為只含等式約束的最優(yōu)控制問題,利用起作用約束集法調(diào)用拉格朗日算法,迭代更新起作用集和可行解,最終求得航跡規(guī)劃問題的最優(yōu)解。具體流程圖如圖1所示。

3.2 C++環(huán)境下程序構(gòu)架

在C++環(huán)境下編寫程序?qū)崿F(xiàn)改進(jìn)GPM離散最優(yōu)控制問題,使用起作用集法求解二次規(guī)劃子問題。

①構(gòu)造等式約束。

程序中以K階Legendre多項式的根為配點以及τ0=-1作為插值節(jié)點,利用拉格朗日插值函數(shù)求微分來近似式(7)運(yùn)動模型中的左函數(shù),之后與函數(shù)聯(lián)立,構(gòu)造等式約束式。相對于狀態(tài)變量而言,每個節(jié)點對應(yīng)3個等式約束,K+1個節(jié)點就對應(yīng)3(K+1)個等式約束式。相對于控制變量而言,每個節(jié)點對應(yīng)一個等式約束,所以二次規(guī)劃問題總共對應(yīng)3(K+1)+K+1個等式約束。

利用高斯積分簡化目標(biāo)函數(shù),求解等式約束式以及目標(biāo)函數(shù)的梯度。

②求取函數(shù)初值。

以往SQP法解二次規(guī)劃子問題時,首先需要求解線性規(guī)劃式,判斷給定的初始解是否可行,之后進(jìn)行下一步的計算。這種方法對初值較為敏感,計算較為復(fù)雜。

文中在C環(huán)境下編寫程序時,只是給出了正定矩陣,利用拉格朗日函數(shù)求解下降方向向量,同時以此作為二次規(guī)劃子問題的初始可行解。與經(jīng)典序列二次規(guī)劃算法相比,簡化了算法流程,通過仿真驗證了算法的高效性和合理性。

③二次規(guī)劃尋優(yōu)。

首先根據(jù)等式約束,確定初始起作用集和非起作用集。使用拉格朗日法求解只含有起作用集約束的線性規(guī)劃問題,根據(jù)相關(guān)判定條件迭代更新起作用集和問題可行解,最終求出二次規(guī)劃子問題的最優(yōu)解,也即是原先二次規(guī)劃問題的最優(yōu)解。

4 算例分析

以遠(yuǎn)程高超聲速滑翔式再入飛行器為仿真對象,氣動參數(shù)采用美國波音公司98年設(shè)計的CAV-H相關(guān)參數(shù)擬合得到[15],其最大升阻比為3.5;氣動參考面積為0.484m2;質(zhì)量為907.2kg;最大飛行攻角和最大升阻比攻角分別為20°和10°;起始導(dǎo)航點經(jīng)度、緯度、高程分別為29°,72°和60.37km;目標(biāo)導(dǎo)航點經(jīng)緯度坐標(biāo)、高程分別為87°,74°和48.8km;滑翔開始時刻的速度為6 606m/s,最大飛行高度為70km,約束條件如1.2節(jié)所示。

取5階LG點以及τ0=-1作為插值節(jié)點,優(yōu)化計算在CPU為3.4GHz/Corei3,操作系統(tǒng)為WindowsXP系統(tǒng)的微機(jī)上實現(xiàn),VisualStudio2010環(huán)境下編寫程序,以時域變換為基礎(chǔ)的Gauss偽譜法求解上述算例需要0.078s,使用文中改進(jìn)后的算法規(guī)劃航跡的時間為0.016s。兩者對比可知,后者在滿足飛行約束條件的基礎(chǔ)上大大縮短了航跡規(guī)劃所需的時間。

優(yōu)化計算結(jié)果見圖2。圖2(a)中攻角變化曲線表明,滑翔導(dǎo)彈長時間保持最大升阻比攻角飛行,在起始導(dǎo)航點和目標(biāo)導(dǎo)航點位置確定的情況下保證了最短飛行時間這一優(yōu)化指標(biāo);圖2(b)中速度傾角始終為負(fù)值,說明滑翔導(dǎo)彈始終朝向目標(biāo)點飛行,保證了最短飛行時間的優(yōu)化指標(biāo);圖2(c)、圖2(d)中速度、飛行高度都能夠滿足終端約束條件限制;圖2(e)、圖2(f)、圖2(g)中過載、動壓和熱流密度的變化均在給定的變化范圍內(nèi),滿足飛行過程中的約束條件。仿真結(jié)果表明,在滿足相同約束條件的前提下,與以往相比,利用改進(jìn)后的GPM能夠準(zhǔn)確、高效地規(guī)劃出一條合理的航跡。

圖2 航跡規(guī)劃結(jié)果

5 結(jié)束語

文中基于導(dǎo)航點位置改進(jìn)GPM,利用改進(jìn)后的算法對滑翔導(dǎo)彈導(dǎo)航點之間的航跡進(jìn)行了優(yōu)化求解,并選取最短飛行時間作為優(yōu)化指標(biāo),在滿足各種飛行約束的條件下,將攻角作為控制變量進(jìn)行優(yōu)化,得到了滑翔段導(dǎo)航點之間的最優(yōu)航跡。從本文的研究中可以看出,文中改進(jìn)后的算法與以往GPM相比,跳出了飛行時間的限制,在已知導(dǎo)航點位置后,滑翔導(dǎo)彈的縱向飛行平面也就隨之確定,簡化了運(yùn)動模型,減少了計算量,縮短了求解航跡規(guī)劃問題所用的時間。文中的研究成果可為滑翔導(dǎo)彈在線航跡規(guī)劃提供一定的技術(shù)支撐,但文中改進(jìn)算法是在地球為旋轉(zhuǎn)圓球的基礎(chǔ)上提出的,與實際不太相符,下一步將以地球橢球為背景設(shè)計研究相應(yīng)的改進(jìn)算法。

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Trajectory Planning for Gliding Missile Via Improved Gauss Pseudospectral Method Based on Navigation Points

NIU Xiao-jie,LI Bang-jie,SHU Jian-sheng,PAN Le-fei,YANG Qi-song

(Primary Command College,Rocket Force University,Xi’an 710025,China)

In order to study the trajectory planning problem of glide missile,the trajectory of the navigation points under the multi-constraint conditions was planned by using optimization theory.The improved Gauss pseudospectral method(GPM)was based on navigation points.The control variables and state variables were discretized by improved GPM,and the optimal control problem was converted into a nonlinear programming problem,and the problem was solved by using the improved sequential quadratic programming(SQP)method.When the segment path is planned by GPM,the flight time of the next trajectory is obtained via iterative method,and the efficiency of the algorithm is reduced.The improved GPM can effectively compensate the lack of time being taken as the independent variable in many trajectory planning,and it has a wider adaptability to optimize the target.The results show that the improved algorithm can accurately and efficiently plan a reasonable trajectory to meet the flight constraints.

glide missile;trajectory planning;improved Gauss pseudospectral method(GPM)

2016-06-30

牛曉潔(1992- ),男,碩士研究生,研究方向為飛行器總體、結(jié)構(gòu)分析與飛行力學(xué)。E-mail:18706766973@163.com。

V412.4

A

1004-499X(2016)04-0036-06