利用幾何相似性快速測量魚重的數學模型

楊亞輝

摘 要 本文闡述了在只測量魚的體長或腰圍等參數的情況下，根據魚的幾何相似性快速確定魚的重量的數學模型。該方法的特點是簡單易行，結果也比較準確，在現實生活及生產實際中用途比泛。

【關鍵詞】幾何相似性 體長 腰圍 魚 重量 測量 數學模型

1 問題背景

某釣魚俱樂部計劃舉辦一場釣魚比賽。出于保護的目的，俱樂部會鼓勵會員在釣到魚后會馬上將其放生。同時俱樂部也必須對比賽中會員釣到的魚的重量進行測量以便進行排名和獎勵。如果每人都帶一個稱，不但攜帶不方便，而且對特別小的魚稱的并不準確。所以，俱樂部必須找到一種簡單快捷的測量魚的重量的方法。

為了獲得有用的原始數據，俱樂部提前在釣魚比賽的水域釣了8條魚，并將這些魚的長度L（cm）、腰圍G（cm）、重量W（g）的測量值記錄在表1。

2 問題分析和假設

魚的重量與它的體積和密度有關。如果嚴格按照公式“質量=體積*密度”來建立測量魚的重量的模型是非常不現實的：

（1）魚的身體不是一個規則的幾何體。

（2）不同種類的魚及魚的不同部位的密度也是不一樣的。

因此，我們必須對這個問題進行適當的簡化。

我們假設：

（1）所有的魚都是同一種類的，那么魚的身體之間會呈現出明顯的幾何相似性。

（2）魚的密度是一個常數，且不隨季節、性別及身邊部位的不同而改變。因此體積比較大的魚就會比較重。于是我們可以不考慮密度的問題，直接建立體積和重量的關系。

（3）魚的重量的主要部分來自魚的中部，頭部和尾部的占總重量的比重比較小。這一建設可以讓我們將魚想象成一個圓柱，用魚的體長和腰圍來估計魚的體積。

在這些合理的假設下，問題得到了簡化。

3 模型建立與求解

3.1 建立模型

由于前面的分析，我們可以將魚的體積視為一個圓柱，用魚的有效長度Long和平均橫截面積S分別表示表示這個圓柱的長度和橫截面積，則魚的體積

V= Long×S

由于幾何相似性，魚的有效長度Long和魚的長度L成正比，魚的平均橫截面積和魚的腰圍G的平方成正比，即

Long∝L

S∝G2

于是，可得

V∝ L×G2

又由于

W∝V

所以

W∝L×G2

引入正比例系數k，得出模型

W=k×L×G2

3.2 求解模型

求出k即可建立由長度和腰圍測量重量的模型了。易知，K=W/ （L×G2），為了簡化運算，我們就將W，L，G的平均值帶入上式求解，用W°，L°，G°分別表示W，L，G的平均值，則

W°=[800+500+1200+700+500+1400+700+500]/8=787

L°=[36.8+31.8+43.8+36.8+32.1+45.1+35.9+21.6]/8=35.4

G°=[24.8+21.3+27.9+24.8+21.6+31.8+22.9+32.1]/8= 25.9

所以

K= W°/ （L°×G°2）=787/（35.4×25.92）=0.0331

則最終的模型為

W=0.0331×L×G2

4 模型的檢驗

將已知數據L和G代入模型中，可以計算出模型的預測值，并將這個值和實測值進行對比發現模型的準確度較高，平均誤差為-7.5g，即按模型估計的值比實際值少了7.5g，這在釣魚比賽中是完全夠用的。如果改進k的求法，模型將更準確。具體結果見表2。

5 模型的應用及推廣

由模型W=0.0331×L×G2可以制作一個速查表，只要知道魚的長度和腰圍，便可直接差出魚的重量，限于篇幅，速查表略。模型W=k×L×G2可廣泛用于各種動物體重量的快速測量上。

參考文獻

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作者單位

海南軟件職業技術學院 海南省瓊海市 571400