應用Mathematica計算單擺任意擺角下的振動曲線

謝忠偉

摘 要：本文應用Mathematica軟件，繪制在無阻尼自由振動中，不同擺角下，單擺的振動曲線。通過對振動曲線的研究，給出了單擺的周期隨擺角不同而變化的定性規律，為高中物理教學提供了便捷的途徑。

關鍵詞：Mathematica；單擺；擺角；振動曲線

單擺是由一根質量可忽略且不可伸縮的細線，上端固定，下端系一可看作質點的重物所構成的裝置，如圖1所示。單擺在擺角小于5°時的無阻尼振動是高中物理中一個作為簡諧振動的典型實例。

現取逆時針為正方向，則任意時刻質點所受重力的分力為。當擺角很小時，，得，此即為單擺所受的線性恢復力[1]。此時，單擺運動為簡諧運動。

就高中階段物理而言，如何能夠給學生展現出任意擺角下，單擺的振動周期與擺角的關系，就是一個難題。

通過應用Mathematica軟件，可使這個復雜的問題，很直觀而準確地用圖像的方式呈現出來，便于學生理解。本文為了避免使用復雜的計算機語言而帶來操作上的困難，因此，基于Mathematica 9應用環境下，使用最簡單、最基本的函數語言進行計算實現的。

1.計算在小角度5°和10°時，單擺的振動曲線，如圖2所示。

擺角為10°和5°時，在短時間內，振動幾乎同步；而隨著周期的增加，使兩周期的差逐漸累加，便可明顯看出10°時的周期略大于5°，如圖2。利用Mathematica中“獲取坐標”的簡單操作，可直接讀出各點的坐標。依此，可粗略計算出擺角為10°時的周期為22.00381s；擺角為5°時的周期為2.00095s，而在的條件下，單擺簡諧運動的周期為2s。因此，若要求精度不高，可選擇擺角小于10°時作為簡諧運動進行研究。

2.計算無阻尼下單擺在擺角為5°、15°、25°、35°、45°、55°、65°、75°、85°運動曲線，如圖3所示。

由圖3可知，隨著擺角角度的增加，單擺的振動周期逐漸增加，且隨著擺角角度的變大，其周期增速變大。

3.結論。

基于Mathematica軟件，可研究任意擺角下，各種情況的振動，如：阻尼振動、受迫振動等。由此繪制的圖形，不但精度高且直觀，非常適合給高中學生進行定性地分析和講解。同時，還能有效地拓展學生思維，點燃學生學習的動力。

參考文獻：

[1]張三惠.大學基礎物理學（下）[M].北京：清華大學出版社，2007.

（作者單位：遼寧鞍山臺安縣第二高級中學物理組）