向量組理論的教學中反例的應用

摘 要：線性代數是一門理論性強、內容抽象的課程。它具有概念及定理多，與實際生活聯系少的特點，正確理解和掌握概念及定理，正確證明命題結論，具有一定的難度，反例既是對命題十分簡明的否定，又是對命題極有說服力的肯定，它往往能起到正面的例子難以起到的作用，對解決這些問題很有幫助。本文主要探討了線性代數中向量組理論教學中反例的作用，以便更好地理解掌握相關命題。

關鍵詞：線性代數；反例；向量組

線性代數是一門理論性強、內容抽象的課程。它具有概念及定理多，與實際生活聯系少的特點，所以在線性代數的教學中，如何更好的理解和掌握相關概念及定理，正確的證明命題結論，具有一定的難度。由于正面問題或結論產生的理論價值和功能效應是有目共睹的，所以，大家都給予了應有的重視。然而，人們往往忽略了反例的理論價值和功能效應，這是線性代數教學及理論研究的一個缺陷。反例既是對命題十分簡明的否定，又是對命題極有說服力的肯定，它往往能起到正面的例子難以起到的作用，對解決這些問題很有幫助。

本文主要針對線性代數中的向量組理論的部分命題給出了具體的反例，以促進對這些知識的理解，從而更好地掌握相關的理論知識。

一、關于向量組的線性相關性的反例

在線性代數中有很多新概念，并且一個概念中簡單的幾個字往往意義深刻，內涵豐富，所以想要真正掌握，就必須將它擴展開理解，多方思維，找出概念的實質。

定義1設都為n維向量，如果數域P上存在一組不全為零的數，使得，則稱線性相關。否則，就稱線性無關。

例5：若可由線性表示，則線性相關。

對于例5的結論不難判斷其正確，那么其逆命題是否正確呢？其逆命題為：若向量組線性相關，則可由線性表示。

易知，此逆命題不真。例如，易知線性相關，但是顯然不能由線性表示。

向量組線性相關的充要條件是其中某一個向量可由其余向量線性表示。為此可引出下面這樣一個命題。

例6：如果向量組中某一向量不能被其余向量線性表示，則線性無關。

此結論不對。例如，，即有不能被其余向量線性表示，但是卻線性相關（因為有零向量）。

此反例揭示出定義中“某一向量可由其余向量線性表示的“某”字含義。并非是全部向量均可由其余向量線性表示。

二、關于向量組的秩的反例

定義2向量組的極大無關組所含向量的個數稱為這個向量組的秩，記作，或簡記為。

例7：等價向量組的秩是相等的。

該結論是正確的，但是反過來，如果向量組與向量組的秩相等，那么這兩個向量組是否一定等價？

顯然向量組的秩是2，向量組的秩也是2，但與不等價。

此反例一陣見血地指出例7的逆命題不正確，而無需再用長篇大論的文字去證明。

參考文獻：

[1]胡萬寶，舒阿秀等.高等代數（第二版）[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2013.

[2]胡崇慧.代數中的反例[M].西安：陜西科學技術出版社，1982.

[3]劉學鵬.線性代數理論中經典命題的反例研究[J].大學數學，23：6（2007），174-177.

（作者單位：安慶師范大學數學與計算科學學院）