包含切比雪夫多項式的循環矩陣行列式的計算

師白娟

(西北大學數學學院，陜西 西安 710127)

包含切比雪夫多項式的循環矩陣行列式的計算

師白娟

(西北大學數學學院，陜西 西安 710127)

行首加r尾r右循環矩陣和行尾加 r首r左循環矩陣是兩種特殊類型的矩陣，這篇論文中就是利用多項式因式分解的逆變換這一重要的技巧以及這類循環矩陣漂亮的結構和切比雪夫多項式的特殊的結構，分別討論了第一類、第二類切比雪夫多項式的關于行首加r尾r右循環矩陣和行尾加r首r左循環矩陣的行列式，從而給出了行首加r尾r右循環矩陣和行尾加r首r左循環矩陣的行列式顯式表達式.這些顯式表達式與切比雪夫多項式以及參數r有關.這一問題的應用背景主要在循環編碼，圖像處理等信息理論方面.

行首加r尾r右循環矩陣；行尾加r首r左循環矩陣；第一類切比雪夫多項式；第二類切比雪夫多項式；行列式

1 引言

循環矩陣類在許多學科中有很重要的應用[1-11]，例如圖像處理，通信，信號處理，編碼，預處理等.P.Davis和江兆林教授已經為其研究奠定了深厚的基礎.近幾年內循環矩陣的探究已經延伸到很多方面，成為了活躍的研究課題.循環矩陣是其另外的自然延伸，有廣泛的應用，特別是在廣義循環碼方面.xn-rx-r-循環矩陣被稱為行首加r尾r右循環矩陣，簡記為RFPrLrR循環矩陣，比一般的f(x)-循環矩陣有更好的結構和性質，所以求解RFPrLrR循環線性系統有更好的快速算法.

在這篇論文中，主要考慮切比雪夫多項式的關于行首加r尾r右循環矩陣和行尾加r首r左循環矩陣的行列式.由切比雪夫多項式的特征給出了行列式的顯式表達式，這里所運用的技巧正是多項式因式分解的逆變換.首先，我們介紹了行首加r尾r右循環矩陣和行尾加r首r左循環矩陣的定義和切比雪夫多項式的特征性質；然后，我們呈現出主要的結果和詳細過程.

2 預備知識

3 主要結果

先考慮第一類切比雪夫多項式Tn的關于行首加r尾r右循環矩陣，行尾加r首r左循環矩陣的行列式，主要結論如下：

4 定理3.1的證明

5 定理3.2的證明

6 定理3.3的證明

7 定理3.4的證明

參考文獻

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Determinants of RFPrLrR circulant matrices of the Chebyshev polynomials

Shi Baijuan
(College of Mathematics，Northwest University，Xi′an 710127，China)

In this paper，two new kind of circulant matrices，i.e.，the RFPrLrR circulant matrix and the RLPrFrL circulant matrix over the complex field C are considered respectively.The determinants of RFPrLrR circulant matrices and RLPrFrL circulant matrices of the Chebyshev polynomials are given by using the inverse factorization of polynomial.The calculation problem of a class determinant involving Chebyshev Polynomials are solved by using the combinatorial method and algebraic manipulations.

Chebyshev polynomials，RFPrLrR circulant matrix，RLPrFrL circulant matrix，determinant

O177.91

A

1008-5513(2016)03-0305-13

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.03.009

2016-02-26.

國家自然科學基金（11371291).

師白娟(1992-)，碩士生，研究方向：數論.

2010 MSC:60B12