推理“三助手”

●黃琴 張興筑

推理“三助手”

●黃琴 張興筑

不斷提出問題是學生數學思維發展的必經過程，數學學習就是在問題的驅動下，利用圖形和符號不斷進行推理的過程，問題、圖形和符號與推理密不可分。

一、創設問題情境，使推理有根據

問題情境的創設可以激發學生的深入思考，使學生的思維活動向著縱深方向發展。

執教人教版《數學》九年級上冊《一元二次方程根與系數的關系》的鞏固訓練環節，筆者出示思考題：設x1、x2是一元二次方程2x2+3x-1=0的兩個根，求代數式的值。剛開始學生的普遍做法是：先解一元二次方程2x2+3x-1=0，求得，再把x1、x2的值代入原式求值。計算過程比較麻煩。這時有一位學生提出：“老師，這道題有沒有其他簡便的方法？”筆者借機讓學生仔細觀察原式，找出特點。學生思考后發現原式能化成，只要能求出x1+x2和 x1x2的值，就可以求出原式的值。x1+x2和x1x2的值又是多少呢？這就巧妙地聯系了這節課的重點教學環節：一元二次方程根與系數關系的求解。根據之前的學習經驗，結合題設，學生很容易求出x1+x2和x1x2的值，再將數值代入轉化后的代數式即可得解。

以上教學中，教師設計一系列的數學問題，通過觀察、發現、猜想、驗證等思維活動，讓學生自己去思考、探究，巧妙運用已學知識“一元二次方程根與系數關系”得出問題解決的簡便路徑。。

二、巧用圖形，使推理更直觀

圖形直觀形象，而且根據圖形能提煉出很多有價值的東西。教學過程中，教師巧妙地運用圖形，可以使學生的思路更清晰、推理更直觀。

執教人教版《數學》九年級上冊《實際問題與一元二次方程》的導入環節，筆者出示思考題：某縣實驗中學有一個長30米，寬20米的矩形綠地，擴建校園時，準備把綠地的長、寬各增加x米。設增加的面積為y平方米，求出y與x之間的函數關系式。剛開始學生沒有畫圖，用的是代數加減法，因為增加的面積＝新矩形的面積－原矩形的面積，所以y＝(x+ 30)(x+20)-30×20=x2+50x。筆者在肯定學生的算法后，在黑板上畫出如下圖所示圖形，讓學生運用幾何割補法推導出圖中陰影部分的面積。學生的思路頓時被打開了。有的說：連接CE、CM和CP。因為S陰影=SΔCBE+SΔCEM+SΔCMP+SΔDCP，所以。有的說，延長BC交PM于點N。因為S陰影=S矩形BEMN+S矩形DCNP,所以S陰影=x(x+20)+30x=x2+50x。有的說：延長DC交EM于點F。因為S陰影=S矩形PDFM+S矩形CBEF，所以S陰影=x(x+30)+20x= x2+50x。還有的說：連接CM，因為S陰影=S梯形CBEM+S梯形PDCM，所以。

從上例可以看出，在沒有圖形的背景下，學生的思維難于打開，推理方法單一；有了圖形，學生可以進行多重推理。

三、借助符號，使推理更簡捷

符號可以簡約有效地表示數、數量關系及其變化規律。借助符號，能使推理更加簡便快捷。

同樣是執教《實際問題與一元二次方程》，在鞏固訓練環節，筆者出示思考題：甲、乙兩人同時在同一糧店購買糧食兩次（假設兩次購買糧食的單價不同），甲每次購買糧食100千克，乙每次購買糧食用去100元。若規定誰兩次購買糧食的平均單價低，誰的購糧方式就合算。據此推斷甲、乙兩人的購糧方式中哪一個更合算？這道推理題，光靠文字語言，很難把道理說清楚，因為兩次購買糧食的單價都不知道。此處需要借助符號語言，將兩次購買糧食的單價分別用不同的字母來表示，再進行推理就容易很多。具體來說，可設甲、乙兩人第一次購買糧食的單價為x元/千克，第二次購買糧食的單價為y元/千克，再設甲兩次購買糧食的平均單價為M元/千克,乙兩次購買糧食的平均單價為N元/千克。則，所以。因為x＞0，y＞0且 x≠y，所以M-N＞0，M＞N。由此推斷出乙的購糧方式更合算。

推理貫穿于數學學習的始終，推理能力的形成和提升需要一個長期的、循序漸進的過程。教學中教師要引導學生抓住問題、圖形和符號等影響推理的關鍵因素，逐步增強學生們問題意識、數形結合意識和符號意識。

（作者單位：房縣實驗中學）