二維TM波時(shí)域非連續(xù)伽略金算法理論數(shù)值通量研究

李林茜 魏兵 楊謙 葛德彪 王飛

(1.西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,西安 710071;2.西安電子科技大學(xué)信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,西安 710071)

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二維TM波時(shí)域非連續(xù)伽略金算法理論數(shù)值通量研究

李林茜1,2魏兵1,2楊謙1,2葛德彪1,2王飛1,2

(1.西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,西安 710071;2.西安電子科技大學(xué)信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,西安 710071)

采用數(shù)值通量的方式進(jìn)行場(chǎng)量交互是時(shí)域非連續(xù)伽略金(Discontinuous Galerkin Time Domain,DGTD)算法區(qū)別于時(shí)域有限元(Finite Element Time Domain, FETD)方法的主要方面.從二維TM情形弱解方程出發(fā),討論了當(dāng)前三角形單元和相鄰單元進(jìn)行場(chǎng)量交互時(shí)數(shù)值通量物理意義和不同形式.結(jié)合數(shù)值通量和弱解方程得到了DGTD算法的迭代計(jì)算式.給出了線元輻射和雙線元干涉的數(shù)值算例,算例結(jié)果表明了文中方法的正確性.

時(shí)域非連續(xù)伽略金算法;算法值通量;結(jié)點(diǎn)基函數(shù)

DOI 10.13443/j.cjors.2015111702

引 言

時(shí)域電磁仿真方法因其能夠通過一次時(shí)域計(jì)算結(jié)合傅里葉變換即可得到寬頻帶信息的特點(diǎn),近年來受到人們廣泛關(guān)注.時(shí)域有限差分(Finite Difference Time Domain, FDTD)方法[1-2]是目前電磁學(xué)領(lǐng)域內(nèi)被人們廣泛、深入地研究,并取得巨大成功應(yīng)用的方法.該方法原理直觀、編程簡(jiǎn)便、實(shí)用性強(qiáng),一直在時(shí)域方法中占主導(dǎo)地位.但由于FDTD方法采用規(guī)則網(wǎng)格剖分,其建模的能力弱,對(duì)彎曲表面的階梯近似,嚴(yán)重限制了將其應(yīng)用于復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)時(shí)的計(jì)算精度.另外一種時(shí)域算法為時(shí)域有限元(Finite Element Time Domain, FETD)方法,該算法采用非結(jié)構(gòu)單元擬合(如四面體),與真實(shí)目標(biāo)的差異小.但FETD每一時(shí)間步需要求解大型線性方程組,難以處理電尺寸較大目標(biāo)的電磁問題.

非連續(xù)伽略金 (Discontinuous Galerkin,DG) 方法20世紀(jì)70年代就應(yīng)用于偏微分方程的求解,隨后，該算法思想被應(yīng)用于流體力學(xué)及時(shí)域有限體積(Finite Volume Time Domain, FVTD)法中.近年來,人們基于FETD和FVTD的思想,提出了非連續(xù)伽略金時(shí)域(Discontinuous Galerkin Time Domain, DGTD)[3-5]算法.DGTD算法既具有有限元方法采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格對(duì)復(fù)雜外形擬合好、便于采用高階基函數(shù)和計(jì)算精度高的優(yōu)點(diǎn),又具有FVTD方法完全顯式迭代、計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn).在多尺度問題、波導(dǎo)不連續(xù)問題等方面廣泛的應(yīng)用前景使得該算法成為近年來計(jì)算電磁學(xué)界的熱點(diǎn)之一.

非連續(xù)的核心思想就是放寬單元之間的連續(xù)性邊界條件,即邊界處數(shù)值通量[3，6-7]的處理.本文從時(shí)域弱解方程出發(fā),著重討論了數(shù)值通量的形成,給出了二維TM波情形的通量表達(dá)式.結(jié)合數(shù)值通量和弱解方程得到了DGTD算法的矩陣方程,離散得到時(shí)域步進(jìn)公式,最后給出了具體算例.

1 二維TM波DGTD算法理論的關(guān)鍵技術(shù):數(shù)值通量

二維TM波情形下弱解方程為[8-9]

(1)

(2)

(3)

式(3)代入式(2)得到

圖1 相鄰二個(gè)三角形單元

(4)

消去單位矢量后式(4)變?yōu)?/p>

(5)

為了便于應(yīng)用,將式(5)的第二式拆分為兩個(gè)獨(dú)立式，有

(6)

表1給出了DGTD算法中數(shù)值通量的三種常見形式[4].若采用中心數(shù)值能量(Centered Numerical Flux,CNF)即νh=νe=0,κh=κe=κ=1/2,式(6)變?yōu)?/p>

(7)

將突變邊界條件式(6)代入式(1)得

(8)

表1 DGTD算法中數(shù)值通量的三種常見形式

(9)

將展開基函數(shù)式(9)代入式(8)整理后寫成矩陣形式:

(10)

(11)

(12)

式中:[Mm],[Sx],[Sy]的元素

以及

(13)

(14)

(15)

式中:

2 數(shù)值算例

算例1 線電流源TM波與解析結(jié)果的比較.計(jì)算域?yàn)?m×6m的矩形域,被離散為2 773個(gè)結(jié)點(diǎn),5 376個(gè)三角形單元.線源設(shè)置在計(jì)算區(qū)域的中心(0m, 0m)處.時(shí)諧場(chǎng)頻率f=0.15GHz,時(shí)間間隔Δt=0.33×10-10s,采用Gedney形式的各向異性完全匹配層(UniaxialPerfectMatchedLayer,UPML)吸收邊界.圖2(a)是第1 000個(gè)時(shí)間步的場(chǎng)值快照,圖2(b)是二維DGTD算法計(jì)算值與利用Hankel函數(shù)得到的解析結(jié)果的比較.

(a) 第1 000個(gè)時(shí)間步的場(chǎng)值快照

(b) 空間場(chǎng)值分布圖2 線電流源在自由空間中的輻射電場(chǎng)

算例2 兩個(gè)電流源干涉時(shí)的近、遠(yuǎn)場(chǎng)分布.計(jì)算域?yàn)?m×4m的矩形區(qū)域,外推邊界邊長(zhǎng)3m×3m,離散尺度0.1m,共離散為2 736個(gè)結(jié)點(diǎn),5 310個(gè)三角形單元(如圖3(a)所示).電磁波波長(zhǎng)1m,Δt=0.416×10-10s兩個(gè)線源相距半個(gè)波長(zhǎng).第200個(gè)時(shí)間步的場(chǎng)值快照如圖3(b)所示,圖3(c)是歸一化的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)(圓圈),作為比較圖中還給出了解析結(jié)果(實(shí)線).

(a) 計(jì)算區(qū)域示意圖

(b) 第200個(gè)時(shí)間步的場(chǎng)值快照

(c) 計(jì)算域幅值歸一化的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng)值分布圖圖3 兩個(gè)線電流源干涉

3 結(jié) 論

本文討論了二維TM情形DGTD算法的實(shí)現(xiàn)過程,主要給出了其核心思想數(shù)值通量和物理含義及其具體表達(dá)式.二維線電流源輻射和雙線電流源干涉的算例,表明本文算法的正確有效性.DGTD算法將相鄰單元之間的切向連續(xù)性關(guān)系變?yōu)椴贿B續(xù),使將形成的大型矩陣方程變成相鄰單元之間相關(guān)的顯式的小矩陣方程,其求解所需要的內(nèi)存和時(shí)間都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于FETD方法,二維情形,如果計(jì)算域有n個(gè)三角形單元,則有約3n/2個(gè)棱邊,FETD方法求逆復(fù)雜度為O((3n/2)3),而DGTD算法的求逆復(fù)雜度為O(33n),因此DGTD算法具有巨大優(yōu)勢(shì).

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李林茜 (1985-),男,新疆人，博士研究生,主要研究方向?yàn)橛?jì)算電磁學(xué).

魏兵 (1970-),男,甘肅人，教授,博士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)殡姶爬碚摗?fù)雜系統(tǒng)中的場(chǎng)與波和計(jì)算電磁學(xué)等.

楊謙 (1989-),男,陜西人，博士研究生,主要研究方向?yàn)橛?jì)算電磁學(xué).

Study on numerical flux of node DGTD method：TM case

LI Linqian1,2WEI Bing1,2YANG Qian1,2GE Debiao1,2WANG Fei1,2

(1.SchoolofPhysicsandOptoelectronicEngineering,XidianUniversity,Xi’an710071,China;2.CollaborativeInnovationCenterofInformationSensingandUnderstanding,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

The main difference between the discontinuous Galerkin time domain (DGTD)and the finite element time domain (FETD) is the exchanging field by numerical flux.Based on the weak form solution of TM case in 2D, the physical meaning of numerical flux and the different express between main unit and adjacent unit are firstly described.And then, combining the above, the DGTD iterative formulae are obtained.Finally, numerical examples of line source radiation and interference are given to demonstrate the validity of DGTD algorithm.

discontinuous Galerkin method;numerical flux;nodal basic function

李林茜, 魏兵, 楊謙,等.二維TM波時(shí)域非連續(xù)伽略金算法理論數(shù)值通量研究[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào),2016,31(5)：877-882.

10.13443/j.cjors.2015111702

LI L Q, WEI B, YANG Q, et al.Study on numerical flux of node DGTD method：TM case [J].Chinese journal of radio science,2016,31(5)：877-882.(in Chinese).DOI:10.13443/j.cjors.2015111702

2015-11-17

國(guó)家自然科學(xué)基金(61231003；61401344；61571348)

O441.4

A

1005-0388(2016)05-0877-06

聯(lián)系人：李林茜 E-mail：395106835@qq.com