考慮應變硬化的混合彈塑性接觸模型

王慶朋,張力,尚會超,唐志剛

(重慶大學汽車工程學院, 400044, 重慶)

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考慮應變硬化的混合彈塑性接觸模型

王慶朋,張力,尚會超,唐志剛

(重慶大學汽車工程學院, 400044, 重慶)

為了更加真實地反映粗糙表面的實際接觸情況,根據表面微凸體變化的連續性、單調性和光滑性原理提出了一種新的混合彈塑性接觸模型。該模型在球體初始接觸時,就考慮更小微凸體的塑性變形和較大變形量時的應變硬化。通過反正切函數構建一組函數,用來表征接觸過程中變形狀態的變化,利用Meyer硬度指數反映應變硬化的影響,進而導出接觸面積和接觸載荷的數學表達式。通過采用文獻中已有的銅、鋁合金和純鎳材料的實驗測試結果,以及文獻中不同的彈塑性接觸模型的計算結果進行對比分析,結果表明,該模型的計算結果能夠很好地與實驗測試結果吻合,尤其是在大變形量、出現應變硬化的情況下,更能體現出該模型的優勢。

微凸體;混合彈塑性;接觸模型;應變硬化

粗糙表面對于機械零部件之間結合面的特征參數以及相對運動表面之間的摩擦特性都有重要的影響。為了探究兩粗糙表面之間的接觸狀態,已有很多學者針對這一問題作出了大量的研究。Hertz對接觸問題作出了開拓性的研究,提出單個球體彈性接觸理論[1];Greenwood等基于這一理論提出經典的粗糙表面和平板之間的接觸模型[2];Abbott等首次提出單個球體的完全塑性接觸模型(簡稱AF模型)[3];Pullen等將此模型應用到粗糙表面[4]。然而,上述研究均基于完全彈性或塑性接觸理論,顯然不符合實際接觸情況。為了彌補單一彈性和塑性接觸模型的不足,Chang等根據接觸區域的體積守恒規律,提出彈性-完全塑性接觸模型(簡稱CEB模型),但是,該模型在屈服點出現接觸載荷的跳變[5];Zhao等對CEB模型進行了修正,提出彈性-彈塑性-完全塑性3種變形狀態的接觸模型(簡稱ZMC模型)[6]。為了使ZMC模型的彈性區域和完全塑性區域連續、光滑地過渡,趙永武等提出對變形和力之間的關系使用三次函數進行插值[7];類似地,Brake[8]采用Hermite多項式對這一狀態進行描述。然而,以上2個函數均屬于高階,這將會導致彈塑性階段的平均接觸壓力和法向變形量之間的關系出現振蕩。為了解決此問題,徐超等在趙永武模型的基礎上,提出一種利用低階橢圓曲線對彈塑性接觸過程進行建模的方法[9];同樣地,Brake采用雙曲正割函數對這一過程進行表征,并且考慮了接觸過程中所產生的應變硬化現象[10]。文獻[5-10]所述的模型是基于2個或3個接觸狀態,但忽略了初始接觸時的塑性變形。此外,也有學者采用有限元的方法對球體和平板接觸問題進行研究,該方法雖可以精確地描述接觸問題,但是,為了反映實際的粗糙特征需要大量的單元網格,而這又需要更多的計算機資源[11-13]。

基于上述研究現狀,微凸體的變形包括彈性和塑性2種狀態,中間的過渡區域只是兩者所占比例不同。對于實際的粗糙表面,正如分形理論所描述的,是有無窮多個微凸體所構成,也就是微凸體上還有微凸體,這就使得兩粗糙表面初始接觸時,已經有更小尺度的微凸體發生了塑性變形,只是所占的比例較小,而在宏觀上表現為彈性變形;當變形量較大時,材料將會表現出應變硬化的現象。為了更加真實地反映實際的接觸情況,根據表面微凸體變化的連續性、單調性和光滑性原理,本文提出了一種新的混合彈塑性接觸模型。本文模型將彈性和塑性狀態擴展到整個接觸過程,通過與文獻中已有的實驗測試結果以及文獻中不同的彈塑性接觸模型的計算結果進行對比,驗證了本文模型的有效性。

1 模型的建立

本文提出的混合彈塑性接觸模型是基于以下幾個假設條件建立的:

(1)材料是均勻的;

(2)忽略球體之間的摩擦力;

(3)兩球體在法向正接觸,也就是,未考慮微凸體間的斜碰;

(4)不考慮相鄰球體之間的耦合作用。

根據文獻[2]的建模方法,2個粗糙表面的接觸可以用一個具有等效彈性模量的等效粗糙度表面與一個剛性光滑平面接觸來代替,如圖1所示。等效彈性模量和半徑的計算如下

(1)

(2)

式中:E1、E2、ν1、ν2分別為兩接觸表面材料的彈性模量和泊松比;r1、r2分別為兩接觸球體的半徑。

圖1 兩球體的接觸模型及其等效模型

1.1 彈性接觸

當變形量較小時,相互作用的球體之間將發生彈性變形。根據經典的Hertz接觸理論[1],實際接觸面積Ae和平均接觸載荷Fe為

Ae=πrδ

(3)

(4)

式中:δ為法向變形量。

關于初始屈服點的計算有很多方法,常見的有2種:一種是Brake采用的,對于兩彈性體接觸過程中所產生的應力場,根據Von Mises準則來確定材料屈服應力的最大幅值,進而得到初始屈服點的位置[8,10];另一種是通過材料的布氏硬度計算出初始屈服點接觸壓應力

py=KH

(5)

式中:py為初始屈服點接觸壓力;K是常量;H為材料的布氏硬度,計算過程中取較軟材料的硬度。

有關式(5)中K的取值,在文獻[5-10,14-15]中取值范圍為0.4～0.6,更多的作者傾向于0.6,在本文模型的計算中K取為0.6。

由式(3)～式(5)可計算出初始屈服點的法向變形量為

(6)

1.2 完全塑性接觸

對于完全塑性屈服點的計算,Tabor在研究材料的硬度時,發現初始屈服點和完全屈服點有以下關系[14]

(7)

式中:σy為兩接觸球體中較軟材料的屈服應力,即

σy=min[σy1,σy2]

(8)

對于塑性狀態下的平均接觸應力,在小的應變硬化條件下,p0≈H≈2.8σy,而對于一般的應變硬化材料,p0≈H≈2.8σf,σf為塑性流動應力,這2種情況都是宏觀情況的近似[10]。在微觀情況下,有文獻發現,這個值是測量值的上限[16],在一些情況下,可以認為布氏硬度的下限為H≈σy[17]。式(7)中p0的計算式為

p0=106H

(9)

完全塑性狀態下的接觸面積和接觸載荷為

Ap=2πrδ

(10)

Fp=p0Ap

(11)

1.3 混合彈塑性接觸

當兩球體發生接觸時,已經有更小尺度的微凸體發生了塑性變形,這時微凸體既存在彈性接觸也存在塑性接觸。正如文獻[7]中所描述的,塑性變形發生在接觸面積中心點以下一定深度一個微小的體積內,塑性變形區被體積大得多的彈性變形區所包圍,隨著變形量的增加,彈性變形所占比例逐漸減小,而塑性變形所占比例隨之增大。在初始屈服點和完全塑性屈服點,接觸面積和接觸壓力應該連續和光滑,并且單調增加,不應有突變。

為了表征彈性變形和塑性變形所占比例的變化,構造一組函數

(12)

式中:n為Meyer硬度指數。

f1(δ)、f2(δ)與變形量δ之間的關系如圖2所示,該組函數的一些性質如下。

圖2 f1(δ)、f2(δ)與變形量δ之間的關系

(1)在初始點,有

(13)

當δ→∞時,有

(14)

由圖2可見:對應于f2(δ)的變化,材料的塑性變形所占比例在開始時為0,隨著變形量δ的增加而變大,直至無限趨近于1,這時表現為完全塑性變形;f1(δ)的變化對應于彈性變形所占比例的變化。

(2)在定義域(0,+∞),函數的一階導數為

(15)

從式(15)可知,f1(δ)單調遞減,而f2(δ)單調遞增,這正好符合兩接觸球體內部彈塑性狀態的變化。

(3)在定義域(0,+∞),函數的二階導數為

(16)

從式(16)可知,f1(δ)表現為凹的,f2(δ)表現為凸的。在相對較小的變形量下,2種變形狀態較快地轉換,這主要由材料的初始屈服點、完全塑性屈服點和Meyer硬度指數決定;而當球體處于較大的變形量時,幾乎呈現為完全塑性變形,那很小的一部分彈性變形可以解釋為:接觸表面總有一些相對較小的微凸體處于初始接觸狀態。

通過以上分析,可以導出接觸面積和接觸載荷分別為

A=f1(δ)(πrδ)+f2(δ)(2πrδ)

(17)

(18)

2 模型的比較

2.1 模型的無量綱化

為了便于不同模型的比較,有必要進行無量綱化。將模型中的變形量、接觸面積和接觸載荷分別用初始屈服點處相應的變量進行無量綱化。無量綱化后的接觸面積和接觸載荷方程分別為

(19)

(20)

式中:δ*為無量綱的變形量。

由于計算模型中忽略了一些影響因素和實驗過程中所帶來的不確定性,需對f1(δ)和f2(δ)進行略微的修正,修正系數的范圍為1±0.05,在以下的單個球體模型驗證中,均將f2(δ)乘以1.047。

2.2 銅材料的模型驗證及對比

Jamari等通過金剛砂平板對一銅球進行壓縮實驗[18],測試試件的幾何和材料數據如表1所示。

表1 銅球壓縮實驗中測試試件的參數

本文模型的計算結果和實驗測試結果的對比如圖3所示。由圖3可見,對于變形量-接觸面積和接觸力-面積曲線,本文模型的計算結果和實驗的測試結果能夠很好地吻合,尤其對于接觸力-面積曲線,應變硬化的影響變得明顯。此外,本文模型和文獻中的Hertz模型[1]、AF模型[3]、CEB模型[5]、Thornton模型[19]、ZMC模型[6]、Stronge模型[20]、DW模型[21]、Brake2012模型[8]以及Brake2015模型[10]進行對比,結果如圖4所示。

從圖4a可以看出,10個模型的接觸面積和變形量都近似地呈現為線性關系,Hertz、DW和Thornton模型無量綱曲線的斜率均為1,其余模型的無量綱曲線斜率均近似為2。由于Hertz和DW模型沒有考慮完全塑性區域,Thornton沒有考慮混合彈塑性區域,造成其偏離實驗數據。從和實驗數據的吻合程度來看,在相對低的變形量下,除了Hertz、Thornton和DW模型,其余7個模型都能較好地吻合。在相對高的變形量下,本文模型的吻合程度最好,其次是ZMC、CEB、AF和Brake2015模型,最后是Stronge和Brake2012模型。

(a)變形量和接觸面積

(b)接觸力和面積圖3 本文模型的計算結果和銅材料實驗的結果對比

(a)變形量和接觸面積

(b)接觸力和面積圖4 不同模型無量綱曲線和銅材料實驗數據對比

從圖4b可以看出,不同模型的接觸力-面積曲線比較分散,在相對低的接觸力下,與實驗數據吻合得較好的是本文模型和Brake2012模型,其次是ZMC、AF、Stronge和Brake2015模型,Hertz和Thornton模型則有相對大的偏離。在相對高的接觸力下,本文模型表現出明顯的優勢,有較好的吻合度,其次是Brake2012、Brake2015和Stronge模型,其他模型的吻合程度則相對差一些。

2.3 鋁合金材料的模型驗證及對比

Jamari等通過金剛砂平板對一鋁合金球進行壓縮實驗[18],測試試件的幾何和材料數據如表2所示,鋁合金材料在不同模型下的計算結果和實驗測試結果對比如圖5所示。

表2 鋁合金球壓縮實驗中測試試件的參數

(a)變形量和接觸面積

(b)接觸力和面積圖5 不同模型無量綱曲線和鋁合金材料實驗數據對比

從圖5a可以看出,10個模型的接觸面積和變形量同樣地都呈現為線性關系,其斜率值和銅材料的情況類似。除了Hertz、Thornton和DW模型,其他7個模型近乎同一條直線,吻合得相當好。從圖5b可以看出,對于接觸力-面積曲線,表現得比較分散,能夠和實驗數據吻合得較好的是本文模型和Brake2012模型,其次是Brake2015、AF和CEB模型,其他模型則有較大的偏離。

2.4 鎳材料的模型驗證及對比

表3 純鎳壓縮實驗中測試試件的參數

從圖6可以看出,對于不同模型的變形量-接觸力曲線,相互間的差別較大,能夠和實驗數據吻合得較好的是Brake2015、Brake2012和本文模型,其他模型的偏差則相對較大。

圖6 不同模型無量綱曲線和純鎳材料實驗數據對比

3 結 論

為了更加真實地反映實際的接觸情況,根據表面微凸體的連續性、單調性和光滑性原理提出了一種新的粗糙表面混合彈塑性接觸模型。該模型在兩球體初始接觸時,就考慮更小微凸體的塑性變形,同時,也考慮較大變形量時的應變硬化。

將文獻中已有的銅、鋁合金和純鎳材料的實驗測試結果以及文獻中不同的彈塑性接觸模型與本文模型的計算結果進行對比,結果表明,本文模型能夠較好地和實驗數據吻合,尤其是在銅和鋁合金材料大變形量的情況下,相對于其他模型更具有優勢。

[1] HERTZ H. On the contact of elastic solids [J]. Journal fur die Reine und Andgewandte Mathematic, 1882, 92: 156-171.

[2] GREENWOOD J A, WILLIAMSON J B P. Contact of nominally flat surfaces [J]. Proceedings of the Royal Society of London: Series A, 1966, 295: 300-319.

[3] ABBOTT E J, FIRESTONE F A. Specifying surface quality: a method based on accurate measurement and comparison [J]. Mechanical Engineering, 1933, 55: 569-572.

[4] PULLEN J, WILLIAMSON B P. On the plastic contact of rough surfaces [J]. Proceedings of the Royal Society of London: Series A, 1972, 327: 159-173.

[5] CHANG W R, ETSION I, BOGY D B. An elastic-plastic model for the contact of rough surfaces [J]. ASME Journal of Tribology, 1987, 109(2): 257-263.

[6] ZHAO Y W, MAIETTA D M, CHANG L. An asperity microcontact model incorporating the transition from elastic deformation to fully plastic flow [J]. ASME Journal of Tribology, 2000, 122(1): 86-93.

[7] 趙永武, 呂彥明, 蔣建忠. 新的粗糙表面彈塑性接觸模型 [J]. 機械工程學報, 2007, 43(3): 95-101. ZHAO Yongwu, Lü Yanming, JIANG Jianzhong. New elastic-plastic model for the contact of rough surfaces [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2007, 43(3): 95-101.

[8] BRAKE M R. An analytical elastic-perfectly plastic contact model [J]. International Journal of Solids and Structures, 2012, 49(22): 3129-3141.

[9] 徐超, 王東. 一種改進的粗糙表面法向彈塑性接觸解析模型 [J]. 西安交通大學學報, 2014, 48(11): 115-121. XU Chao, WANG Dong. An improved analytical model for normal elastic-plastic contact of rough surfaces [J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2014, 48(11): 115-121.

[10]BRAKE M R. An analytical elastic plastic contact model with strain hardening and frictional effects for normal and oblique impacts [J]. International Journal of Solids and Structures, 2015, 62(1): 104-123.

[11]KOGUT L, ETSION I. Elastic-plastic contact analysis of a sphere and a rigid flat [J]. Journal of Applied Mechanics, 2002, 69(5): 657-662.

[12]JACKSON R L, GREEN I. A finite element study of elasto-plastic hemispherical contact against a rigid flat [J]. ASME Journal of Tribology, 2005, 127(2): 343-354.

[13]朱林波, 莊艷, 洪軍. 一種考慮側接觸的微凸體彈塑性接觸力學模型 [J]. 西安交通大學學報, 2013, 47(11): 48-52. ZHU Linbo, ZHUANG Yan, HONG Jun. Elastic-plastic model for contact of two asperities considering shoulder-shoulder contact [J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2013, 47(11): 48-52.

[14]TABOR D. The hardness of metals [M]. Oxford, UK: Oxford University Press, 1951.

[15]KOGUT L, ETSION I. A static friction model for elastic-plastic contacting rough surfaces [J]. ASME Journal of Tribology, 2004, 126(1): 34-40.

[16]YU W, BLANCHARD J P. An elastic-plastic indentation model and its solutions [J]. Journal of Materials Research, 1996, 11(9): 2358-2367.

[17]SWADENER J G, GEORGE E P, PHARR G M. The correlation of the indentation size effect measured with indenters of various shapes [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2002, 50(4): 681-694.

[18]JAMARI J, SCHIPPER D J. Experimental investigation of fully plastic contact of a sphere against a hard flat [J]. ASME Journal of Tribology, 2006, 128(2): 230-235.

[19]THORNTON C. Coefficient of restitution for collinear collisions of elastic perfectly plastic spheres [J]. Journal of Applied Mechanics, 1997, 64(2): 383-386.

[20]STRONGE W J. Impact mechanics [J]. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2000.

[21]DU Y, WANG S. Energy dissipation in normal elastoplastic impact between two spheres [J]. Journal of Applied Mechanics, 2009, 76(6): 1089-1094.

(編輯 劉楊 苗凌)

A Mixed Elastic-Plastic Contact Model Considering Strain Hardening

WANG Qingpeng,ZHANG Li,SHANG Huichao,TANG Zhigang

(College of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

A new mixed elastic-plastic model for the real contact is developed to consider both plastic response of smaller asperity and strain hardening effects. It is assumed that the contact behavior is continuous, monotonic and smoothing. An arc-tangent function is used to express different contact status, and the Meyer hardness exponent is used to reflect the effect of strain hardening. Then a math model for both the contact area and the contact load is derived. The proposed model is tested using experimental results for copper, aluminum alloy and nickel reported in the literature, and compared with other contact models in the literature. The proposed model shows a good agreement with experimental results and a big advantage especially when strain hardening occurs.

asperity; mixed elastic-plastic; contact model; strain hardening

2015-06-03。

王慶朋(1987—),男,博士生;張力(通信作者),男,教授,博士生導師。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(51175530)。

時間:2016-01-12

10.7652/xjtuxb201602022

O343.3

A

0253-987X(2016)02-0132-06

網絡出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20160112.1906.002.html