新型復合材料功能梯度板熱屈曲研究

李科哲,趙 彪,李曉嬌,劉 洋

(1.中國酒泉衛星發射中心,甘肅 酒泉 732750; 2.哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院,黑龍江 哈爾濱 150001)

?

新型復合材料功能梯度板熱屈曲研究

李科哲1,趙 彪2,李曉嬌1,劉 洋1

(1.中國酒泉衛星發射中心,甘肅 酒泉 732750; 2.哈爾濱工程大學 動力與能源工程學院,黑龍江 哈爾濱 150001)

針對目前功能梯度材料(FGM)熱物參數存在眾多不同表征方法的現狀，假設功能梯度平板材料熱物參數沿厚度向呈同一任意函數形式變化，基于經典板理論和一階剪切理論，用臨界平衡法推導板的屈曲方程，用Navier法求解方程，給出功能梯度平板熱屈曲臨界溫度的通用解析式。考慮其熱物參數對溫度的依賴性，通過迭代算法獲得了四邊簡支的功能梯度平板在均勻受熱時臨界屈曲溫度變化的封閉解。以常用的指數型功能梯度平板為例進行了數值計算，分析了平板幾何尺寸對其臨界屈曲溫度的影響。結果表明：結構尺寸參數是影響臨界溫升的最主要因素，臨界屈曲溫度分別隨其厚長比和長寬比增大而單調增大。研究擴大了均勻溫度場中功能梯度平板熱屈曲臨界溫度計算公式的適用范圍，有一定的工程意義。

功能梯度平板； 熱物參數； 任意函數； 熱屈曲； 臨界溫度； 均勻溫度場； 依賴性； 指數型

0 引言

FGM是日本材料學者于1984年針對航天領域中出現的高落差溫度現象提出的，其材料要素沿某一方向由一側向另一側呈連續梯度光滑變化，基本消除了宏觀界面，由此能避免或降低熱應力集中。功能梯度材料常用于航天結構的外殼、核反應堆的防護體、發動機內襯、火箭熱障層等結構，在極端熱環境中取得了較大的成果。目前，已發展到將FGM直接作為高溫環境中的結構構件[1]。復合材料板殼結構在熱載荷下熱屈曲行為在航空航天領域具極其特殊的意義。鑒于FGM的應用前景廣泛，國內外對功能梯度板結構的熱屈曲研究獲得了大量成果，表現出研究方法的多樣性和全面性。文獻[2]綜合有限元方法(IGA)與第三平板變形理論(TSDT)討論了FGM板的熱屈曲問題。文獻[3]用第三剪切變形平板理論推導出FGM板在三種不同機械載荷以及兩種不同溫度載荷下的屈曲問題解析式。文獻[4]結合第一平板剪切變形理論與里茲法探討了FGM板在不同邊界條件以及平板缺陷大小下的屈曲行為。文獻[5]用高階平板變性理論探討了FGM板機械和溫度后屈曲問題，發現非線性方程對其前屈曲及初始后屈曲狀態影響較小，但對深度后屈曲行為影響很重要。文獻[6]也用無網格法分析了FGM板的熱屈曲問題。針對FGM板在不同載荷和邊界條件下熱屈曲問題，國外也進行了大量研究。文獻[7]用經典非線性Von Karman平板理論，分別在機械載荷、溫度載荷以及機械-溫度聯合載荷下，解決了圓板的非線性彎曲和后屈曲問題。文獻[8]探討了四周簡支FGM板的熱屈曲，并分析了其臨界溫升的變化因素。文獻[9]討論了在均勻溫度變化下，溫度沿厚度線性變化、沿厚度非線性變化，以及沿長度方向線性變化時的FGM板熱屈曲。文獻[10]分析了簡支傾斜FGM板的熱屈曲問題，并探討了傾斜角度對其臨界溫升的影響。文獻[11]分析了FGM板三維熱屈曲問題，并與前人研究進行了比較。國內對FGM熱屈曲問題研究較少，具代表性的是文獻[12]在非線性彈性基礎上分析了矩形板在均勻和非均勻(拋物型)熱分布作用下的后屈曲；文獻[13]在考慮FMG中厚板在受壓屈曲、熱屈曲及熱/機械預應力條件下，給出了基于高階剪切理論研究板屈曲載荷和屈曲溫度的半解析數值方法；文獻[14]基于經典板理論，假設FGM板材料屬性沿厚度以冪律變化，推導了其熱屈曲溫度的計算表達式；文獻[15]用Ritz法對各向同性圓板在周邊彈性約束下的熱屈曲問題進行了研究。

綜合FGM板熱屈曲研究可知：多數研究成果基于其材料屬性沿厚度方向成冪律變化的假設，其結論的推廣和應用均局限于其該特定的函數假設。但由于FGM的屬性是不斷變化的，確定一種統一、精確的代表性函數模型十分困難，另外在描述材料梯度分布的函數模型中還有指數函數、多項式函數等常用函數，因此找到一種通用的函數模型描述FGM板熱屈曲問題將會有效擴大其結論推廣的適用范圍[16]。本文假設FGM板材料屬性沿厚度方向呈任意函數模型變化，通過建立FGM板熱屈曲分析的通用模型，推導其熱屈曲臨界溫升的解析式，并計算了常用的指數型FGM板模型的臨界溫升，分析了其與FGM板幾何尺寸的變化關系。

1 材料本構模型

考慮一尺寸為a×b×h的矩形板如圖1所示。板的下側為金屬，上側為陶瓷，中間為兩種材料按一定比例組成的混合物。

圖1 功能梯度平板模型Fig.1 Model of FGM plate

假設FGM參數均沿板厚度z向按同一函數規律變化，即

J=F(z)J(-h/2).

(1)

式中：J為材料的熱物參數；J(-h/2)為相應材料參數在z=-h/2處的值；F(z)為關于z的通用變化函數，且F(-h/2)=1，有

E=E(z)E(-h/2)，

α=α(z)α(-h/2)，

K=K(z)K(-h/2).

此處：E(z)為彈性模量任意變化函數；α(z)為熱膨脹系數任意變化函數；K(z)為熱傳導系數任意變化函數。三者的函數形式相同。

FGM的熱物參數是位置坐標和溫度的函數，因此對FGM作力學分析時，還須考慮組份材料的熱物參數與溫度變化的相關性。TOULOUKIAN給出了陶瓷與金屬的熱物參數隨溫度變化的規律

Ji=c0(c-1T-1+1+c1T+c2T2+c3T3).

(2)

式中：c-1，c0，c1，c2，c3為組份材料的溫度系數[17]。

由式(1)、(2)可確定FGM在某一溫度下的E(z)，α(z)，K(z)。FGM的泊松比ν 可視為常數，本文取ν=0.3。

2 FGM板基本方程

根據經典板理論并考慮橫向剪切變形，矩形薄板的位移可表示為

u1(x,y,z)=u(x,y)+zφx；

u2(x,y,z)=v(x,y)+zφy；

u3(x,y,z)=w(x,y).

式中：u(x,y)，v(x,y)，w(x,y)分別為板的中面在x、y、z向的位移；φx，φy分別為板的中面法線相對x、y軸的轉角[10、18-20]。由文獻[3、21-22]，對應的各方向應變可表示為

εx=u,x+zφx,x；

εy=v,y+zφy,y；

γxy=u,y+v,x+z(φx,y+φy,x)；

γxz=φx+w,x；

γzy=φy+w,y.

3 控制方程

板單位長度的內力Nx，Ny，Nxy和內力矩Mx，My，Mxy可用板的應力沿厚度z向積分而得，有

式中：

z)(1,z)dz.

本文用臨界平衡法推導板的屈曲方程。設板在熱載荷作用下平衡穩定狀態的位移為w0，對w0加一微小增量w0→w0+w1，此處w0為臨界狀態的撓度，w1為微小增量，它們既滿足屈曲前的平衡方程，又滿足屈曲后的平衡方程。將w0+w1代入并減去原來的平衡方程，略去高階項后得到屈曲控制方程為

本文用Navier方法求解方程，選擇Fourier級數

w1=csin(mπx/a)sin(nπy/b)

作為位移方程[3、21-22]。此處：c為任意常數；m，n分別為軸向和周向的屈曲波數，且自動滿足邊界條件式

E(-h/2)α(-h/2)·P·ΔT.

將熱參數Ψ代入可得

顯然，當m，n分別等于1時，溫度最小，因此熱屈曲的臨界溫升為

(3)

式(3)即為承受均勻熱載荷下材料參數任意形式變化的FGM板的屈曲臨界溫升通用解析式。

當E(z)=1，α(z)=1且不考慮橫向剪切變形時，表示均勻各相同性板的屈曲溫度解析式(文獻[8])退化為

(4)

與THORNTON給出的均質各相同性板的臨界溫升解析式一致[23]。

4 FGM物料參數對溫度的依賴性

注意到材料屬性與溫度相關，式(3)右邊是溫度的函數，為一耦合方程，不能直接進行求解。因此，本文引入迭代算法，用Matlab編寫相應的計算程序求解臨界溫升ΔTcr，流程如圖2所示。圖中：φ(T,a,b,h,m,n)為式(3)右邊；ΔT0，ΔTi分別為起始溫升和第i迭代步的溫升。

圖2 迭代流程Fig.2 Iterative flowchart

本文采用常用的指數型FGM模型。設金屬的彈性模量和熱膨脹系數分別為Em，αm， 即E(-h/2)=Em，α(-h/2)=αm，其彈性模量和熱膨脹系數等物性參數為空間坐標函數，變化關系滿足

式中：βE，βα，βK分別為FGM彈性模量、熱膨脹系數和熱傳導系數非均勻參數。FGM物性參數變化規律與空間位置的關系如圖3所示。

圖3 物性參數變化規律與空間位置的關系Fig.3 Relationship between physical parameters variation and spatial location

5 算例

選取組份材料Si3N4，SU304。設起始溫度Tm=300 K，陶瓷面溫升為ΔT，分析物性參數對臨界溫升的影響，比較了不考慮物性參數與溫度相關性(TIMP)和考慮物性參數與溫度相關性(TDMP)兩種情況，計算了長寬比a/b=1，厚長比h/a為0.02～0.10，以及h/a=0.1，a/b為1～5兩種工況下的ΔTcr，結果分別如圖4、5所示。

圖4 ΔTcr與厚長比h/a的變化關系Fig.4 Relationship between ΔTcr and h/a

均勻溫度變化下FGM板臨界溫升與幾何尺寸的變化關系見表1。由表1可知：ΔTcr隨FGM板厚長比和及長寬比增大有逐漸穩定的趨勢，TDMP的ΔTcr遠小于TDMP，且在ΔTcr較大時兩者差距更為顯著，這說明考慮物性參數與溫度的相關性十分必要，否則臨界溫升將被嚴重高估。

表1 均勻溫度變化時FGM板ΔTcr 與幾何尺寸的變化關系

圖5 臨界溫升ΔTcr與長寬比a/b的關系Fig.5 Relationship between ΔTcr and a/b

綜合圖4、5和表1可知：結構尺寸參數是影響臨界溫升的最主要因素，且其臨界屈曲溫升隨厚長比增大而單調增大，隨平板長寬比增大而單調增大，且隨著幾何相對尺寸的增大，臨界溫升提高十分明顯。

6 結束語

本文對新型復合材料功能梯度板熱屈曲問題進行了研究，假設FGM板材料沿厚度向呈任意函數模型變化，通過建立FGM板熱屈曲分析的通用模型，推導出其臨界溫升的通用計算公式。具體應用時，若假設材料參數均沿板厚度z向按同一函數規律變化，則無論任何函數形式，只需將關于z的通用變化函數F(z)代入即可，從而顯著擴大了其適用范圍。研究發現：指數型FGM板的臨界溫升隨厚長比，以及平板相對尺寸長寬比的增大而增大，功能梯度材料在極端熱環境中具優良的表現，但應用時應注意校核其熱屈曲強度。分析FGM平板熱屈曲問題時，須考慮組份材料熱物參數對溫度變化的依賴性，否則將導致臨界溫升被嚴重高估。 本文推導了基于一階剪切理論和均勻溫度場的通用表達式，后續將針對高階剪切理論或非均勻溫度場屈曲控制方程的變化作進一步研究。

[1] 沈惠申. 功能梯度復合材料板殼結構的彎曲、屈曲和振動[J]. 力學進展, 2004, 34(1): 53-60.

[2] TRAN L V, CHIEN H. THAI H. An isogeometric finite formulation for thermal buckling element analysis of functionally graded plates[J]. Finite Elements in Analysis and Design, 2013, 73: 65-76.

[3] SAMSAM B A, SHARIAT M, ESLAMI R. Buckling of thick functionally graded plates under mechanical and thermal loads[J]. Composite Structures, 2007, 78: 433-439.

[4] ZHAO X, LEE Y Y, LIEW K M. Mechanical and thermal buckling analysis of functionally graded plates[J]. Composite Structures, 2009, 90: 161-171.

[5] ZHANG Da-guang, ZHOU Hao-miao. Mechanical and thermal post-buckling analysis of FGM rectangular plates with various supported boundaries resting on nonlinear elastic foundations[J]. Thin-Walled Structures, 2015, 89: 142-151.

[6] ZHANG L W, ZHU P Z, LIEW K M. Thermal buckling of functionally graded plates using a local Kriging meshless method[J]. Composite Structures, 2014, 108: 472-492.

[7] MA L S, WANG T J. Nonlinear bending and post-buckling of a functionally graded circular plate under mechanical and thermal loadings[J]. International Journal of Solids and Structures, 2003, 40: 3311-3330.

[8] WU Lan-he. Thermal buckling of a simply supported moderately thick rectangular FGM plate[J]. Composite Structures, 2004, 64: 211-218.

[9] JAVAHERI R, ESLAMI M R. Thermal buckling of functionally graded plates[J]. AIAA Journal, 2002, 40: 162-169.

[10] GANAPATHI M, PRAKASH T. Thermal buckling of simply supported functionally graded skew plates[J]. Composite Structures, 2006, 74: 247-250.

[11] NA Kyung-su, KIM Ji-hwan. Three-dimensional thermal buckling analysis of functionally graded materials[J]. Composites: Part B, 2004, 35: 429-437.

[12] 沈惠申, 張建武. 非線性彈性基礎上矩形板熱后屈曲分析[J]. 應用力學學報, 1997, 14(1): 29-35.

[13] 彭建設, 楊杰. 功能梯度材料矩形中厚板的受壓/熱致屈曲[J]. 固體力學學報, 2005, 26(1): 11-16.

[14] 武蘭河, 王立彬, 劉淑紅. 四邊簡支功能梯度矩形板的熱屈曲分析[J]. 工程力學, 2004, 21(2): 152-166.

[15] 郝際平, 吳子燕. 圓板的熱后屈曲分析[J]. 西北工業大學學報, 1996, 14(3): 391-396.

[16] 李華東, 朱錫, 梅志遠, 等. 功能梯度板殼的力學研究進展[J]. 材料導報A： 綜述篇， 2012, 26(6): 110-118.

[17] BOUAZZA M, TOUNSI A, ADDA-BEDIA E A, et al. Buckling analysis of functionally graded plates with simply supported edges[J]. Leonardo Journal of Sciences, 2009, 15: 21-32.

[18] MINDLIN R D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates[J]. Journal of Applied Mechanics, 1951, 18: 31-38.

[19] REISSNER E. On the theory of bending of elastic plates[J]. Journal of Mathematical Physics, 1944, 23: 184-191.

[20] REISSNER E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates[J]. Journal of Applied Mechanics, 1945, 12: 69-77.

[21] TOULOUKIAN Y S. Thermophysical properties of high temperature solid materials[J]. New York: McMillan, 1967.

[22] JAVAHERI R, ESLAMI M R. Thermal buckling of functionally graded plates based on higher order theory[J]. Journal of Thermal Stresses, 2002, 25: 603-625.

[23] THORNTON E A. Thermal buckling of plates and shells[J]. Applied Mechanics Review, 1993, 10: 485-506.

Study on Thermal Buckling of Functionally Graded Cylindrical Shells

LI Ke-zhe1, ZHAO Biao2, LI Xiao-jiao1, LIU Yang1

(1. Jiuquan Satellite Launch Center of China, Jiuquan 732750, Gansu, China;2. College of Power and Energy Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, Heilongjiang, China)

Because there are many different characterization methods of functionally graded material thermal parameters at present, it is assumed that thermal parameters of functionally graded plates in the thickness direction have arbitrary function with the same form. Based on the classical plates theory and first-order shear theory, the buckling equation was derived with critical balance method and the equation was solved with Navier method. The general analytic formula in analysis of functionally graded plates buckling critical temperature was deduced. Taking the thermal parameters dependence of temperature into consideration, the critical-buckling temperature of simply supported functionally graded plates was obtained by an iterative algorithm. Taking the example of usual exponential functionally graded plates, the geometry influence on critical-buckling temperature was analyzed. The results show that the main factor to influence the critical-buckling temperature is the structure size, and the critical-buckling temperature increases by increasing of thickness-length and length-width ratios. The study enlarges the adaptability of the critical temperature analytic formula of functionally graded plates in the uniformity temperature field. It is valuable in engineering.

Functionally graded plates; Thermal parameter; Arbitrary function; Thermal buckling; Critical-buckling temperature; Uniformity temperature field; Dependence; Exponential

1006-1630(2016)05-0071-06

2016-07-05；

2016-08-07

李科哲(1991—)，男，碩士，主要從事飛行器總體設計與系統仿真研究。

TB33

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2016.05.011