R-vine copula模型與PCBN模型的比較

申 敏，吳和成

（1.南京工業(yè)大學 數(shù)理科學學院，南京 211816；2.南京航空航天大學 經(jīng)濟管理學院，南京211100）

R-vine copula模型與PCBN模型的比較

申 敏1，2，吳和成2

（1.南京工業(yè)大學 數(shù)理科學學院，南京 211816；2.南京航空航天大學 經(jīng)濟管理學院，南京211100）

文章對比了兩類刻畫高維變量相依結構模型——R-vine copula模型和PCBN模型，并將其應用于國民經(jīng)濟九大行業(yè)信用風險相依結構分析，結果表明，與R-vine copula模型相比，PCBN模型能更好地兼顧模型的準確性和簡潔性目標。通過PCBN模型可以發(fā)現(xiàn)：國民經(jīng)濟整個系統(tǒng)內行業(yè)間存在條件獨立關系，其中七個行業(yè)構成的子系統(tǒng)是整個系統(tǒng)內風險傳染的關鍵媒介，而在子系統(tǒng)內部，水電燃氣、批發(fā)零售、信息軟件及金融業(yè)是信用風險傳染的關鍵媒介。

R-vine copula；PCBN；行業(yè)信用風險；相依結構

0 引言

近年涌現(xiàn)了大量與二元copula族相關的文獻，但除了橢圓類或阿基米德類copula函數(shù)外，很少有能直接推廣到多元情形的copula。已有的多維copula函數(shù)往往因為對參數(shù)的唯一性要求較高、不能很好地刻畫多變量之間復雜的相依關系而逐漸被一種基于copula的分層結構方法所取代。目前較流行的分層結構算法是R-vine copula算法。在Joe[1]的基礎上，Bedford&Cooke[2,3]對該方法進行了系統(tǒng)深入的研究。由于這種分層方法可以集結所有潛在雙變量的pair-copula(PC)，具有高度的靈活性，能夠為種類繁多的復雜相依結構進行建模，非常適宜為高維數(shù)據(jù)建模，因此備受學者們青睞。然而，這種方法也有一定缺陷，其中主要的問題是隨著變量維度的增加，可選結構的種類以及待估參數(shù)數(shù)量將隨之以平方函數(shù)速度增加，運算量較大。

因此，如何簡化R-vine copula模型，既能快速有效地確定模型結構又能減少待估參數(shù)數(shù)量，是一個亟待解決的問題。事實上，當多變量中存在某兩變量間的獨立或條件獨立關系時，其PC函數(shù)值恒為1，無需估計，此時待估PC數(shù)量將會減少。于是，為簡化R-vine copula模型，Brechmann等[4]指出，鑒于R-vine copula結構估計算法建立在第一棵樹具有最強相依關系的基礎上，因此可以假定后面的樹中所有的pair變量間均條件獨立。然而，這種事先設定變量間滿足條件獨立關系的構建方式在現(xiàn)實中顯得不盡合理。

如何合理地簡化多元統(tǒng)計建模？為隨機變量族的條件獨立結構建模的圖模型提供了強有力的工具。根據(jù)圖模型所得到的條件獨立關系可以很方便地由圖中表示變量的節(jié)點以及表示變量間內在關系的邊所表達[5]，其優(yōu)點是只需要考慮局部的分布而不需要直接考慮全局分布模型。因此，可以應用于高維模型避免維數(shù)災難。圖模型中應用最為廣泛的是貝葉斯網(wǎng)絡（BN），其Markov性質可以通過有向無環(huán)圖（DAG）所表現(xiàn)。貝葉斯網(wǎng)絡方法可以認為是高維相依結構的一種稀疏的表現(xiàn)形式。利用有限的數(shù)據(jù)對相依性進行稀疏化建模的研究近年受到越來越多的關注[6]。其中較為典型的是Bauer[7,8]提出的將pair-copula構建方法與貝葉斯網(wǎng)絡結合的新型多元統(tǒng)計模型——Pair-copula Bayesian Network(PCBN)。

基于上述討論，本文將從模型簡化的角度，對R-vine copula模型與PCBN模型進行比較，并將其應用于國民經(jīng)濟九大行業(yè)的信用風險相依結構分析中。

1 R-vine copula模型及PCBN模型

1.1 R-vine copula模型

由Sklar定理[9]知，高維數(shù)據(jù)的聯(lián)合分布可由邊緣分布與copula函數(shù)聯(lián)合表出，而R-vine copula算法將聯(lián)合copula函數(shù)以一列樹集的形式進行分層分解。

具體地，對非空有限點集V，令d∶= ||V，則在V上定義的 R-vine是一列樹集 υ：=(T1，…，Td-1)，其中T1=（V1，E1)，…，Td-1=（Vd-1，Ed-1)，V1=V ，Vi=Ei-1(i≥2)即樹Ti的點是樹Ti-1的邊，用{v，w}表示Ti的一條邊，即Ei?{ }{v，w}|v≠w∈Vi，υ中的每棵樹Ti滿足鄰近條件，即對?{v，w}∈Ei有 ||vΔw=2，其中vΔw=(v∪w) (v∩w)。

為了方便地表達聯(lián)合概率分布的分解形式，Mo-rales-Nápoles等[10]提出利用約束集矩陣來存儲R-vine的所有樹和邊的集合υ，這樣每一個條件分布可以根據(jù)約束集集合CM=CM(i)∪…∪CM(d-1)來表達，其中第i個約束集是CM(i)={({mi，i，mk，i}，D)|k=i+1，}…，d，D={mk+1，i，…，md，i} (i=1，…，d-1）{mi，i，mk，i}稱為被條件集，D為條件集。

根據(jù)Bedford and Cooke[11的推導，運用約束集矩陣的符號表示，可得x=(x1，…，xd)的R-Vine分布密度可以分解為一系列二維PC和邊緣分布密度之積。

其中：

建立一個d維R-vine copula模型結構υ需要定義的PC數(shù)量是，其值隨d以二次函數(shù)速度增長。DiBmann等[12]提出在眾多可能的模型中確定最恰當模型的最大遍歷樹算法，其中每棵樹Ti的選擇都以使得Vi上滿足所有邊的pair變量相關性之和最大的一棵樹。當d較大時，模型結構的確定及相應PC類型及參數(shù)估計的運算量非常大。

然而，當pair變量（pair copula所對應的變量稱為pair變量）間存在獨立或條件獨立關系時，其PC函數(shù)值恒為1，此時待估PC數(shù)量將會減少。因此，確定變量間的條件獨立關系可以使多元copula函數(shù)的分解變得更簡潔。而通過貝葉斯網(wǎng)絡（BN）的有向無環(huán)圖（DAG）可以直觀地發(fā)現(xiàn)所有具有條件獨立關系的變量。

1.2 PCBN（Pair-copula Bayesian Network）模型

設D=(V，E)是一個DAG，P為d維空間上的概率測度，X為d維隨機變量，則對任意兩兩不相交的集合I，J，K?V，都滿足XK∶=(Xk)k∈K給定時XI與XJ條件獨立，記為則稱P具有全局D-Markovian性質；對所有v∈V，若滿足則稱P具有局部D-Markovian性質。Lauritzen[13]證明了兩個性質是等價的。此時P的概率密度 f可表示為D-遞歸分解形式：

顯然，f的D-遞歸分解形式是以確定的DAG結構（即D=(V，E)）為基礎的。定義D最簡便的方法是通過專家知識，但應用范圍有限，因為專家知識通常很有限或不可得。因此，目前較流行兩類基于數(shù)據(jù)驅動的DAG結構估計算法——基于約束的算法和評分-搜索算法，其中前者通過一系列條件獨立檢驗來推斷D，后者通過在恰當?shù)乃阉骺臻g中優(yōu)化給定的得分函數(shù)（如AIC和BIC）來發(fā)現(xiàn)D。

于是，在給定D結構及所有父節(jié)點排序的基礎上，相應的聯(lián)合概率密度便可分解為如下邊緣分布密度和一系列二元條件copula的乘積[7]。

這種通過DAG和pair copula來構造聯(lián)合分布的模型稱為PCBN（Pair-copula Bayesian Network）模型。

2 實證

2.1 樣本與數(shù)據(jù)的選擇

本文選取的樣本來自按證監(jiān)會行業(yè)分類標準劃分的國民經(jīng)濟18個門類行業(yè)，選擇其中行業(yè)市值占全行業(yè)市值比重始終處于前9位的行業(yè)，即采礦業(yè)B、制造業(yè)C、電熱水燃氣業(yè)D、建筑業(yè)E、批發(fā)零售業(yè)F、交通運輸倉儲業(yè)G、信息軟件業(yè)I、金融業(yè)J、房地產(chǎn)業(yè)K，由于9行業(yè)總市值始終占全行業(yè)總市值的90%以上，因此對樣本行業(yè)信用風險的分析可以代表整個國民經(jīng)濟的信用風險狀況。樣本期為2008年1月至2014年9月，共81個月。本文所有數(shù)據(jù)均來源于銳思數(shù)據(jù)庫。

2.2 行業(yè)信用風險的R-vine copula建模

依或有權益法（CCA）得出9行業(yè)信用風險的表征——違約距離DD，并對違約距離的經(jīng)驗分布函數(shù)序列ui(i=1，…，9)做K-S檢驗（見表1）。

表1 K-S檢驗結果

由表1顯見，各行業(yè)違約距離的經(jīng)驗分布序列均在1%水平下接受服從均勻分布U(0,1)的假設，因此可用于PC模型構建。

根據(jù)行業(yè)Kendall'τ相關系數(shù)矩陣，通過最大生成樹MST-PRIM算法，挑選Kendall'τ相關系數(shù)絕對值較大的行業(yè)對，同時兼顧“初始節(jié)點要保證相關性最強的節(jié)點間連接成邊”及“保證每個節(jié)點都至少有其中的一條邊與之連接”原則，選擇的pair行業(yè)對分別是J-C、C-B、K-I、I-B、B-D、D-G、E-G、G-F，從而確定R-vine的第一棵樹形結構圖，如圖1所示。

圖1 R-vine的第一棵樹形結構圖

類似地，可選擇R-vine的另外7棵樹的結構，從而得到R-vine copula結構矩陣，如圖2所示。

圖2 R-vine copula結構矩陣

圖3 R-vine PC類型矩陣

依據(jù)AIC或BIC最小原則，在常見的五類分別用于刻畫變量間的不同相依特征的copula類型族中（Gaussian、t、Clayton、Gumbel、Frank copula,分別用N、t、C、G、F來表示），通過計算每個pair copula（PC）在相應copula族中的AIC或BIC值，最終確定36對PC的類型，與結構矩陣相對應的PC類型矩陣如圖3所示。并通過極大似然估計法，估計所有38個copula參數(shù)（限于篇幅，暫未列出）。

2.3 行業(yè)信用風險的PCBN建模

以9行業(yè)信用違約距離的累計經(jīng)驗分布序列ui(i=1，…，9)為對象，分別利用基于約束的PC算法和基于評分-搜索的爬山算法(HC)對九維貝葉斯網(wǎng)絡進行結構學習，結果發(fā)現(xiàn)PC算法對網(wǎng)絡邊及方向的識別弱于HC算法，因此，本文采納HC算法得到網(wǎng)絡結構。為使得到的DAG為良序，本文將行業(yè)序號重排如下：1→B，2→C，3→G，4→J，5→I，6→F，7→D，8→K，9→E。結果如圖4所示。通過計算圖4中各節(jié)點與其相應父節(jié)點的Kendell相關系數(shù)，依從大到小的順序得到父節(jié)點排序，其矩陣表示如圖5所示，其中每一列的非零元素個數(shù)表示相應列所對應元素的父節(jié)點個數(shù)，其數(shù)值表相應行所對應元素在相應列對應元素的父節(jié)點排序，例如，由第K列可知，I＜KC＜KF＜KD。

圖4 良序DAG圖

圖5 父節(jié)點順序矩陣

為了與R-vine copula模型相比較，根據(jù)良序DAG及父節(jié)點排序可得與R-vine約束集矩陣M=(mi，j)i，j=1，…，d定義方式相同的結構矩陣來存儲DAG所包含的所有路徑及邊的集合，結果如圖6所示，其中“×”表示該位置的變量與對角線元素變量存在條件獨立關系，因此可以不予考慮。根據(jù)網(wǎng)絡學習原理，網(wǎng)絡結構矩陣第一行元素與對角線元素構成的pair變量間的相依性捕捉了多元相依結構中最重要的相依關系，相應的八對pair行業(yè)分別是E-G、K-I、D-G、F-G、I-B、J-C、G-B、C-B。

由圖6得九維聯(lián)合分布可分解為如下形式：

圖6 貝葉斯網(wǎng)絡結構矩陣

圖7 貝葉斯網(wǎng)絡PC類型矩陣

依據(jù)AIC或BIC最小原則，依然在上述五類copula類型族中通過計算每個pair copula（PC）在相應copula族中的AIC或BIC值，最終確定16對PC的類型，與結構矩陣相對應的PC類型矩陣如圖7所示。通過極大似然估計法，得出所有18個PC參數(shù)以及整個模型的極大似然估計值及AIC、BIC值。（篇幅所限，各參數(shù)的估計結果暫未列出）

2.4 R-vine copula與PCBN模型比較及結果分析

現(xiàn)將兩模型整體估計結果及相關特征如表2所示。

表2 R-vine copula與PCBN模型比較

由表2可以看出，從模型簡潔性來看，PCBN待估PC數(shù)目遠遠小于R-vine copula，因而更為簡潔，更適宜為高維數(shù)據(jù)建模；同時，從模型準確性來看，雖然R-vine copula模型的似然值較大且AIC較小，但當樣本容量較大時，BIC準則更傾向于選擇較簡潔模型，而PCBN的BIC值相對更小，因此可以較好地刻畫高維數(shù)據(jù)相依結構；事實上，觀察圖2和圖6，比較R-vine copula結構矩陣和貝葉斯網(wǎng)絡結構矩陣的第一行元素和對角線元素，兩者所確定的pair行業(yè)對除了兩對行業(yè)不同以外，其他均相同，說明兩模型在捕捉多元相依結構中最重要的相依關系方面基本一致。而且由于構建R-vine時要滿足“鄰近原則”的約束，因此在捕捉最重要相依關系時的表現(xiàn)甚至稍遜于沒有約束的貝葉斯網(wǎng)絡；此外，從模型所蘊含的信息量來看，由于PCBN所對應的網(wǎng)絡結構是有向無環(huán)圖（DAG），可發(fā)現(xiàn)節(jié)點間的因果關系。并且，由于DAG具有D-Markovian性質，可發(fā)現(xiàn)節(jié)點集間的條件獨立關系，因此模型所含信息量更為豐富?；谝陨鲜聦?，本文將以PCBN模型估計結果對國民經(jīng)濟9大行業(yè)信用風險相依關系進行分析。

首先，由圖3的DAG圖可見，網(wǎng)絡中的邊數(shù)較多，說明行業(yè)間存在錯綜復雜的相互關系，其中包含節(jié)點K和節(jié)點G的邊最多，說明這兩個行業(yè)與其他行業(yè)聯(lián)系最廣泛。聯(lián)合概率測度滿足D-Markovian性質，其中{B，C}⊥{E}| {D，F(xiàn)，G，I，J，K}，即，在能源、貨幣、信息、商品等7個廣義上的流通類行業(yè)條件下，{采礦、制造業(yè)}與{建筑業(yè)}這兩大類實體行業(yè)信用風險相互獨立。整個系統(tǒng)的危機傳遞路徑從采礦、制造業(yè)開始通過流通類行業(yè)蔓延到建筑業(yè)，從而形成國民經(jīng)濟系統(tǒng)信用危機。因此，防范系統(tǒng)危機的關鍵是防范流通類行業(yè)的信用危機。而在流通類行業(yè)子系統(tǒng)中，存在{G}⊥{K}|{D，F(xiàn)，I，J}，即交通運輸業(yè)與房地產(chǎn)業(yè)在其余4個行業(yè)條件下相互獨立，在該子系統(tǒng)中危機傳染路徑從交通運輸業(yè)經(jīng)這4個行業(yè)傳遞至房地產(chǎn)業(yè)。因此，防范流通類行業(yè)子系統(tǒng)信用危機的關鍵在于防范水電燃氣、批發(fā)零售、信息軟件及金融業(yè)的信用危機。此外，在流通類行業(yè)子系統(tǒng)中，G、J、F兩兩相連，構成全網(wǎng)絡，說明3行業(yè)關系密切，且由邊的方向可以看出，交通運輸業(yè)G可直接影響也可通過金融業(yè)J間接影響批發(fā)零售業(yè)F的信用風險狀況。

另外，從圖6結構矩陣的第一行可以看出，與節(jié)點G和節(jié)點B構成無條件pair相依關系的節(jié)點較多，說明交通運輸業(yè)和采礦業(yè)在國民經(jīng)濟行業(yè)系統(tǒng)的相依結構中起到相對更重要的樞紐作用，其他行業(yè)間的信用風險聯(lián)系大多以這兩個行業(yè)為條件。而從圖7的PC類型矩陣可以看出，K-I、D-G、C-B適用Clayton copula,，即存在下尾相關，有同時暴跌的可能；E-G、I-J|B適用Gumbel copula，即存在上尾相關，可實現(xiàn)共同繁榮；E-K|G、G-B適用t copula，即存在對稱的尾部相關性；而其他pair變量間則沒有明顯的尾部相關性。

3 結語

本文以國民經(jīng)濟9大行業(yè)信用風險相依結構為研究對象，分別利用R-vine copula模型和PCBN模型為相依結構建模，并從準確性、簡潔性及信息含量豐富性等方面對兩模型進行比較，選出表現(xiàn)較好的模型并對實證結果進行分析。實證結果表明，PCBN模型的BIC值最小，即在兼顧模型的準確性和簡潔性時，PCBN相比R-vine copula模型更適合于為國民經(jīng)濟行業(yè)系統(tǒng)的信用風險相依結構建模。而通過PCBN模型可以發(fā)現(xiàn)：國民經(jīng)濟整個系統(tǒng)內行業(yè)間存在條件獨立關系，流通類行業(yè)子系統(tǒng)是系統(tǒng)風險傳染的關鍵媒介，而在流通類行業(yè)子系統(tǒng)中，水電燃氣、批發(fā)零售、信息軟件及金融業(yè)是信用風險傳染的關鍵媒介。另外，實證結果還發(fā)現(xiàn)了交通運輸業(yè)和采礦業(yè)在國民經(jīng)濟行業(yè)系統(tǒng)的相依結構中起到相對更重要的樞紐作用，并發(fā)現(xiàn)了不同行業(yè)及條件行業(yè)間的尾部相關性。

[1]Joe H.Families of M-variate Distributions With Given Margins and M (M-1)/2 Bivariate Dependence Parameters[J].Institute of Mathemati?cal Statistics,Hayward.1996,（28）.

[2]Bedford T,Cooke R M.Probability Density Decomposition for Condi?tionally Dependent Random Variables Modeled by Vines[J].Annals of Mathematics and Artificial Intelligence，2001,（32）.

[3]Bedford T,Cooke R M.Vines—A New Graphical Model for Depen?dent Random Variables[J].Annals of Statistics.2002,30(4).

[4]Brechmann E C,Czado C,Aas K.Truncated Regular Vines in High Dimensions With Application to Nancial Data[J].Canadian Journal of Statistics 2012.(40).

[5]Lauritzen S L.Graphical Models[M].Oxford:Oxford University Press, 1996.

[6]Kurowicka D.Cooke R.Uncertainty Analysis With High Dimensional Dependence Modelling[J].Technometrics,2007,49(1).

[7]Bauer A,Czado C.Pair-copula Bayesian Networks.[DB/OL]http://arx?iv.org/abs/1211.5620.23 Nov 2012.

[8]BauerA,Czado C, Klein T.Pair-copula Constructions for Non-gaussian DAG Models[J].The Canadian Journal of Statistics. 2012,40(1).

[9]Sklar M.Fonctioms de Répartition à N Dimension Et Leurs Marges [J].Publ.Inst.Statist.Univ.Paris,1960,(8).

[10]Morales-Nápoles O,Cooke R M,Kurowicka D.About the Number of Vines and Regular Vines on N Nodes[DB/OL].http://scholar.google. ca/citations.2010.

[11]Bedford T,Cooke R M.Probability Density Decomposition for Condi?tionally Dependent Random Variables Modeled by Vines[J].Annals of Mathematics and Articial intelligence,2001,32(1).

[12]Diβanna J,Brechmanna E C,Czadoa C,et al.Selecting and Estimat?ing Regular Vine Copulae and Application to Financial Returns[J]. Computational Statistics and Data Analysis.2013(59).

[13]Lauritzen S L.Graphical Models[M].Oxford:Oxford University Press, 1996.

（責任編輯/浩 天）

0212.4

A

1002-6487（2016）23-0073-04

國家自然科學基金資助項目（71401074）；江蘇省哲學社會科學基金重點項目（14GLA003）；江蘇省高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目（KYZZ_0099）；江蘇省教育廳高校哲學社會科學研究項目（2016SJB630030）

申 敏(1978—)，女，安徽鳳陽人，博士研究生，講師，研究方向：金融風險管理。

吳和成(1963—)，男，江蘇啟東人，教授，博士生導師，研究方向：金融風險管理、區(qū)域創(chuàng)新管理。