分式布朗運動金融模型中的參數估計

毛小麗，孔凡勝，郭精軍,b

（蘭州財經大學a.統計學院；b.甘肅經濟發展數量分析研究中心，蘭州 730020）

分式布朗運動金融模型中的參數估計

毛小麗a，孔凡勝a，郭精軍a,b

（蘭州財經大學a.統計學院；b.甘肅經濟發展數量分析研究中心，蘭州 730020）

文章利用譜密度方法，分別研究金融中短期利率隨機模型和股票價格隨機模型。考慮短期利率隨機模型—分式Ornstein-Uhlenbeck過程中漂移系數的極大似然估計問題，證明估計量的無偏性和漸近正態性，并用數值模擬實驗驗證估計方法的有效性。利用股票價格隨機模型—分式幾何布朗運動，選取平安銀行2013年1月4日到2014年7月31日收盤價格數據，借助Monte Carlo方法進行模擬未來股票價格走勢。研究表明：將分式布朗運動驅動的隨機微分方程作為股票價格模型更能反映金融市場實際情況。

分式布朗運動；譜密度法；極大似然估計

0 引言

考慮如下第一類隨機微分方程：

由于分式布朗運動驅動的Ornstein-Uhlenbeck（簡稱分式O-U過程）過程在物理、通信金融等領域有著廣泛的應用，尤其分式O-U可以作為短期利率模型，故分式O-U過程的參數估計問題引起了眾多學者的關注。Sottinen等［1］研究了帶有附加分式布朗單的隨機過程的參數估計，此估計基于分式布朗運動的Girsanor變換。同時，也可以用Euler-type方法對方程進行離散化處理后對未知參數進行估計。Hu等［2］用Malliavin計算，考慮了連續觀測的分式O-U過程的極小平方估計及估計值的強一致性等。Xiao等［3］用極小對比估計方法，研究了分式O-U過程中未知參數的估計值。在文獻［4，5］中用隨機游走逼近分式布朗運動，然后用極大似然法估計漂移系數。同時，幾何布朗運動是常見的描述股票價格未來走勢的隨機模型，該模型也是著名的Black-Scholes期權定價理論基礎。張金清［6］用布朗運動模型對單風險因子和多風險因子進行了研究，并且在此基礎上對Monte Carlo模擬法進行了改進與擴展，獲得了許多有益的結論。郭精軍等［7］利用分式布朗運動模型和Monte Carlo模擬法，以上證綜指為例對金融市場風險進行了度量。

但是，上述估計方法一般需要隨機分析中較為復雜和繁瑣的計算才能得到參數估計值。本文擬采用另外一種比較直觀的方法對分式高斯噪聲進行逼近，已達到參數估計和股票價格趨勢預測的目的。因為分式布朗運動的增量，即分式高斯噪聲是一個平穩過程，所以可以用譜密度表示［9］的高斯過程來逼近分式高斯噪聲。受到文獻［6-8］的啟發，本文利用譜密度方法對分式O-U過程中的漂移系數進行估計；進一步利用分式幾何布朗運動來預測股票未來價格。最后，用數值實驗分別驗證估計值與真實值的差距以及股票價格預測準確程度。

1 分式布朗運動和相關結果

一個具有平穩增量的自相似過程WH={WH(t)，-∞＜t＜+∞}(其中Hurst參數0＜H＜1)稱之為分式布朗運動,其均值為0,其協方差函數為：

考慮滿足下列線性積分方程的高斯過程：

平穩離散型高斯過程X={Xn;n=0，…，N-1}可以表示為譜密度的積分形式：

這里等式表示方程兩邊有相同的分布,B1(λ)與B2(λ)是兩個相互獨立的布朗運動。

其中,ξi與ξj+1是獨立同分布的標準正態隨機變量,且文獻[8]證明了:當l→∞，在L2下收斂于Xn。這里用代替ΔWH,仍然保持了最初過程的一些性質:自相似性、長相依性。

2 基于譜密度法的分式O-U過程參數估計

2.1 極大似然估計

利用文獻[8]中的方法,現在通過極大似然法估計式(4)中的漂移系數θ,從i=0到i=j-1,對式(4)求和,有：

其中,B=( )

bk，l1≤k，l≤j是有下列元素的矩陣：(T表示轉置),(Bξ)j表示向量Bξ的第j階元素。通過乘以B-1,得到：

因此,對于每一個 j≥1,ξj由觀測 X1，…，Xj可表示為：

下面給出模型(4)中未知參數的極大似然估計的表達式。

定理1：模型(4)中θ的極大似然估計為：

因此,在X1=x1,…,Xj=xj的條件下,Xj-1的條件期望是高斯分布其中：

其概率密度函數為：

故似然函數為：

因此,將參數θ的似然函數L(θ，，x1，…，xNα)極大化,得到θ的極大似然估計θ∧為：

證畢。

從θ的極大似然估計θ∧和式(9),得到：

2.2 估計量的性質

現在證明估計量的無偏性、漸近正態性。

對M≥1,定義：

證明：從式(10)、式(11)和式(12),得到：

命題2：從式（10）得到：

這是由于 ξj+1是獨立同分布的正態隨機變量。

2.3 Monte Carlo模擬

選取平安銀行2013年1月4日到2014年7月31日收盤價格數據，對得到的估計量進行模擬。取不同的H和θ，根據模型（3），利用R代碼產生300個樣本，從而求出估計量的均值和標準差（如表1所示）。

表1 估計量的均值和標準差

從模擬結果看到，對于取的不同的H和θ，通過模型（3）模擬后得出的估計量的均值都接近真實值，并且對應于不同的H和θ模擬的估計量的標準差也比較小，通過模擬可以發現，在對樣本量不太大的情況進行模擬時，模擬得出的估計量相對來說也是比較精確的。

3 譜密度法在股票價格模型中的應用

3.1 隨機標準法下的股票價格預測

考慮下列的方程：

其中，n=1，2，...，N;B1是b+1維獨立同分布的標準正態隨機向量；B2是N+1維獨立同分布的標準正態隨機向量；B1和B2相互獨立；CH是一個常數。取文獻中已證明是WH(t)的一個好的逼近。

于是，利用式（14）得到式（13）的離散化形式：

其中ε1和ε2都是均值為0、方差為1的標準正態隨機變量，[t+iΔt]表示對t+iΔt進行取整。

步驟二：用平安銀行2013年1月1日到2014年7月31日收盤價格估計出參數。

步驟三：利用計算機生成b+1、N+1個相互獨立的標準正態隨機變量，不妨記為{ε1i∶i=1，2，...，b+1}和{ε2j∶j=1，2，...，N+1}，代入離散化表達式（15）中。

步驟四：令初始值i=0，通過編程，由初始平安銀行股票價格得到再由生成依次遞推，直到于是，在二維平面上繪的散點圖，就得到到期日平安銀行股票價格未來變化的一條模擬樣本軌道。

3.2 譜密度法下的股票價格預測

用譜密度法對式（13）進行離散化處理，類似地可以模擬股票價格，具體步驟如下：

步驟一：利用式（6）得到式（13）的離散化形式：

步驟二：利用計算機生成ι個相互獨立的標準正態隨機變量，不妨記為和代入離散化表達式（16）中。

步驟三：令初始值i=0，通過R語言編程，由初始平安銀行股票價格得到，再由生成依次遞推，直到于是，在二維平面可繪出集合{(t的散點圖，從而得到分式布朗運動方程（13）的一條近似樣本軌道，即該股票價格的一條模擬樣本軌道。

3.3 比較分析

在用隨機標準法和譜密度法模擬平安銀行股票價格的變化路徑時，通過計算得到H=0.75，θ=-0.001266，σ=0.02，初始價格St=10.70。在隨機標準法的隨機模型中，取CH=1，t=0，Δt=Δk=1，在譜密度法的隨機模型中，取t=0，Δt=1，n=123，得到圖1和圖2所示的平安銀行股票價格的一條樣本軌道，并與股票價格的實際走勢進行對比。

圖1 隨機標準法模擬股價走勢與實際走勢對比圖

圖2 譜密度法模擬股價走勢與實際走勢對比圖

圖中粗線是平安銀行2014年8月1日到2015年1月30日實際收盤價（數據來源：Wind資訊），細線是模擬的價格。

通過對比發現，譜密度法估計的分式布朗運動模型比隨機標準法估計的隨機模型更貼近實際，但與實際還有點差距，造成這種差距的原因是：程序中有產生隨機數的過程，具有很大的隨機性；模型中只對股價進行了量化分析，事實上影響股票價格的因素除了數量因素外，還有政策、投資者心理等因素。

4 結論

鑒于分式布朗運動具有良好的長相依性、自相似性等特征，本文主要用譜密度方法和分式布朗運動金融模型，對短期利率模型進行極大似然估計，數值實驗說明該估計方法比較準確；結合Monte Carlo模擬方法，最大限度地模擬出股票價格未來走勢，模擬結果不受歷史數據的影響，且模擬的結果更加貼近于現實。

[1]Sottinen T,Tudor C.Parameter Estimation for Stochastic Equations With Additive Fractional Brownian Sheet[J].Statis.Infere.Stoch.Pro?cess,2008,（11）.

[2]Hu Y,Nualart D.Parameter Estimation for Fractional Ornstein-Uhlen?beck Process[J].Stat.Prob.Lett.,2010,80.

[3]Xiao W,Zhang W,Zhang X.Minimum Contrast Estimator for Frac?tional Ornstein-uhlenbeck Process[J].Science China Mathematics, 2012,55(7).

[4]Bertin K,Torres S,Tudor C.Drift Parameter Estimation in Fraction?al Diffusions,Martingales and Random Walks[J].Stat.Prob.Lett., 2011,81(2).

[5]Bertin K,Torres S,Tudor C.Maximum Likelihood Estimators and Random Walks in Long-memory Models[J].Statistics,2010,44(5).

[6]張金清.金融風險管理(第二版）[M].上海:復旦大學出版社,2011.

[7]郭精軍,田婧.分式布朗運動模型下的金融市場風險度量——以上證指數為例[J].蘭州商學院學報,2014,30(2).

[8]LauraR,SoledadT,TudorC.ComparativeEstimationforDiscreteFrac?tional Ornstein-uhlenbeck Process[J].StochasticModels,2014,29(3).

[9]Ton D.Simulation of Fractional Brownian Motion[J].Prbability in the Engineering&Information Sciences,2004,2.

[10]Hu Y,Wang X.Exact Maximum Likelihood Estimator for Drift Frac?tional Brownian Motion at Discrete Observation[J].Acta Mathemati?ca Scientia,2011,31B(5).

[11]Sottinen T.Fractional Brownian Motion,Random Walks and Binary Market Models[J].Finance and Stochastics,2011,（5）.

（責任編輯/易永生）

O211.6

A

1002-6487（2016）23-0025-04

國家自然科學基金資助項目（71561017）；甘肅省自然科學基金資助項目（145RJZA033）；甘肅經濟發展數量分析研究中心項目（SLYB201202）

毛小麗（1989—），女，甘肅臨洮人，碩士研究生，研究方向：應用數理統計。

孔凡勝（1990—），男，山東兗州人，碩士研究生，研究方向：應用數理統計。

（通訊作者）郭精軍（1976—），男，甘肅民勤人，博士，副教授，研究方向：應用數理統計、隨機分析。