求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間易錯(cuò)剖析

安徽省靈璧黃灣中學(xué) 華騰飛

求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間易錯(cuò)剖析

安徽省靈璧黃灣中學(xué) 華騰飛

在運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解題時(shí)，三角函數(shù)的單調(diào)性有很重要的應(yīng)用，常用來(lái)研究函數(shù)的變化情況，比較函數(shù)值或自變量的大小，解（或證）不等式，求函數(shù)的值域或最值等。有些同學(xué)在求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，由于對(duì)概念和法則理解不深、把握不準(zhǔn)，常常會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)解的發(fā)生。下面舉例分類(lèi)剖析，希望能夠引起同學(xué)們的注意，力避此類(lèi)錯(cuò)誤的發(fā)生。

一、忽視了基本函數(shù)致錯(cuò)

注 上述兩種解法結(jié)果看似不同，其實(shí)只不過(guò)是形式不同而已，實(shí)質(zhì)上是相同的。

二、沒(méi)有考慮原函數(shù)的定義域致錯(cuò)

三、未弄清函數(shù)周期性致錯(cuò)

圖1

圖2

四、遺忘了題設(shè)其他條件致錯(cuò)

五、參數(shù)處理不當(dāng)致錯(cuò)

例7 討論函數(shù)y=acosx+b的單調(diào)區(qū)間。

錯(cuò)解 當(dāng)y=cosx遞增，即x∈［2kπ-π，2kπ］（k∈Z）時(shí)，原函數(shù)遞增；

當(dāng)y=cosx遞減，即x∈［2kπ，2kπ+π］（k∈Z）時(shí)，原函數(shù)遞減。

剖析 對(duì)于含參數(shù)問(wèn)題，若參數(shù)的取值不確定，則必須對(duì)其討論。上述錯(cuò)解是由于想當(dāng)然地認(rèn)為a＞0導(dǎo)致錯(cuò)解的發(fā)生。

正解 當(dāng)a=0時(shí)，y=b為常函數(shù)，沒(méi)有單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為［2kπ-π，2kπ］（k∈Z），

減區(qū)間為［2kπ，2kπ+π］（k∈Z）；

當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為［2kπ，2kπ+π］（k∈Z），

減區(qū)間為［2kπ-π，2kπ］（k∈Z）。

例8 已知0＜a＜2且a≠1，求函數(shù)y=log2a-a2（sinx·cosx）的單調(diào)遞減區(qū)間。

錯(cuò)解 若對(duì)2a-a2分類(lèi)討論或認(rèn)為1＜2a-a2，則都有可能導(dǎo)致錯(cuò)解的發(fā)生。

剖析 本題雖含參數(shù)，但題設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)卻只在區(qū)間（0，1）內(nèi)，因此不需要分類(lèi)討論。