雙懸扭擺測量轉動慣量及平行軸定理的實驗研究

陳洪云 鄭安壽

[中國地質大學(武漢)數理學院 湖北 武漢 430074]

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雙懸扭擺測量轉動慣量及平行軸定理的實驗研究

陳洪云 鄭安壽

[中國地質大學(武漢)數理學院 湖北 武漢 430074]

轉動慣量是描述剛體轉動慣性量度的重要物理量，它具有重要的物理意義.本文利用一種雙懸扭擺的實驗裝置來對物體的轉動慣量進行實驗研究以及對平行軸定理進行實驗驗證.

轉動慣量 平行軸定理 雙懸扭擺

轉動慣量是描述剛體轉動慣性量度的重要物理量，它具有重要的物理意義，在科學實驗、工程技術、航天、電力、機械、儀表等工業領域也是一個重要參量.它不僅與剛體的質量分布、幾何形狀有關，而且與轉軸的位置有關.對于形狀簡單的均勻剛體，測出其外形尺寸和質量，就可以計算出轉動慣量.對于形狀復雜的、質量分布不均勻的剛體，一般利用轉動實驗來測定其轉動慣量.

1 雙懸扭擺裝置介紹

如圖1所示，雙懸式扭擺的測量載物籃由上、下兩根懸線懸掛.下懸線的底端與一壓簧相連，通過旋轉螺母，在彈簧的作用下，可以改變上、下兩根懸線中的張力，這就有效地解決了剛體繞中心軸旋轉時晃動的問題.

圖1 雙懸扭擺示意圖

三角架的水平調節螺絲是為了保證剛體的旋轉軸和懸線在鉛直方向.載物籃中放置不同的待測物體，可研究剛體的轉動慣量與其質量大小、質量分布和轉軸位置變化的規律，并可驗證平行軸定理.傳感器的作用是將剛體旋轉過程中的擋光信號轉換成電脈沖信號，以達到自動測量旋轉周期的目的.

實驗中除了雙懸扭擺裝置，還配有標準件(圓環)1個以及待測件(圓盤1個，相同圓柱體2個).

圖2 標準件及待測件圖示

2 工作原理

當載物籃偏離平衡位置一個角度θ時，載物籃將受到上、下兩懸線扭力矩M的作用，顯然有

M=-Dθ

(1)

其中D為扭轉系數，它起源于懸線的切變應力.

根據轉動定律

(2)

其中J是剛體繞中心軸的轉動慣量.式(2)表明載物籃的運動滿足諧振動方程，運動周期

(3)

設空載載物籃相對懸絲軸的轉動慣量為J0，轉動周期為T0；標準件(圓環)相對懸絲軸的轉動慣量為J1，標準件與載物籃一起轉動的周期為T1；待測件相對懸絲軸的轉動慣量為Jx，待測件與載物籃一起轉動時的周期為Tx，則

(4)

(5)

(6)

可得

(7)

由此可知，只要測出T0，T1，Tx，便可根據J1的值計算出Jx.

T0，T1，Tx的測量是由單片機完成的，其精度為10-4s，為進一步消除測量中的誤差，一般采用測量多個周期的時間，然后算出一個周期的值.

3 數據測量及結果分析

在測量之前首先把標準件以及待測件的轉動慣量理論值算出來，這方便與我們實驗測量的結果進行對比.用游標卡尺多次測量標準件及待測件，計算出它們的轉動慣量的理論值，結果如表1和表2.

表1 標準件(圓環)轉動慣量理論值的計算

表2 待測件(圓盤)轉動慣量理論值的計算

計算標準件及待測件理論值之后，按照實驗裝置操作要求，可測量待測件(圓盤)的轉動慣量.為了減少實驗的誤差，測量過程中，我們重復測量10次，最后求出平均值，然后再與理論值進行百分差計算，結果如表3.

表3 待測件(圓盤)轉動慣量的測量值

從表3可以看出，理論值與測量值的百分差非常小，表明實驗操作及測量結果合理.

4 驗證平行軸定理

利用實驗裝置，我們還可以驗證平行軸定理.若有任一軸與過質心的軸平行，且該軸與過質心的軸相距為d，如圖3所示，剛體對其轉動慣量為JO，則有

JO=JC+md2

其中JC表示相對通過質心的軸的轉動慣量，這個定理稱為平行軸定理.

圖3 平行軸定理剛體示意圖

為了驗證平行軸定理，我們對實驗做了些改進，因為載物籃需要在一個平衡的狀態下轉動，實驗中我們利用兩個基本相同的圓柱體，同時對稱地放置在載物籃中心的兩邊，保證載物籃在一個水平面內轉動.我們首先用游標卡尺多次測量圓柱的直徑，理論計算其繞自身中心的轉動慣量，如表4.然后把兩個圓柱對稱地放置在距離載物籃中心分別為2，3，4，5，6 cm的地方，利用實驗裝置把各自對應的轉動慣量測量出來，如表5所示.

表4 待測件(圓柱)直徑轉動慣量的理論計算

表5 兩圓柱對稱放置離載物籃中心不同距離處轉動慣量的測量與計算值

d/cm65432測量值Jd/(g·cm2)1436210248682741512264理論值Jx/(g·cm2)1448510244681141402233百分差η1/%0.80.040.20.271.4

由于兩圓柱質量相差很小，故可認為圓柱在離中心相等的地方對應轉動慣量相等，所以有表6.

表6 單個圓柱放置離載物籃中心不同距離處的轉動慣量測量值

d2/cm236251694單個圓柱在不同位置的轉動慣量Jd/(g·cm2)71815124341420761132

根據表6，應用Origin軟件作圖并線性擬合可得圖4.

從圖4可以看出，Jd與d2為線性關系，表明了此實驗很好地驗證了平行軸定理.為了很好地說明此實驗驗證了平行軸定理，我們由Origin軟件擬合Jd和d2之間關系(Y=A+BX)，可得到表7.

圖4 Jd與d2關系圖

表7 線性擬合各參數值

根據擬合過程和方程Jd=JC+md2可得JC=A=379 g·cm2，與單個圓柱轉動慣量計算理論值377 g·cm2相比較，兩者相差無幾；同時，質量擬合值(m=B=189.24 g)與質量實際值也非常接近(m1=190.71 g,m2=190.73 g)，說明此實驗很好地驗證了平行軸定理！

最后需要說明的是，本實驗在操作過程中，需要注意下列事項：

(1)在將標準件的轉動慣量輸入單片機時，以g·cm2為單位，單片機自動轉變為kg·cm2.

(2)在按下單片機計算的時候，計算數值的單位為kg·cm2.

(3)驗證平行軸定理的時候，我們需2個質量、外形相差無幾的小圓柱，把它們對稱地放置在載物籃的兩邊，這跟只利用一個小圓柱分別放置在載物籃一邊相比，測量結果誤差較少，主要原因是載物籃上只放置一個圓柱在其邊上時，其轉動面有一定傾斜.

5 結束語

從上面測量結果及其分析來看，不管在測量圓盤的轉動慣量，還是在利用圓柱驗證平行軸定理的時候，我們的測量結果都比較合理.同時，最后在驗證平行軸定理時，借助了計算軟件進行作圖并進行相關分析，這反映了大學物理實驗教學在培養學生能力方面的重要作用，需要加以重視.

2015-10-26)