探究一種非正弦周期變化的電流和電壓的有效值

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

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探究一種非正弦周期變化的電流和電壓的有效值

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

通過對兩個不同形式的電路問題進行分析，得出相同形式的非正弦周期變化的電流和電壓的瞬時值表達式，并對這種波動直流電用多種方法推導出有效值計算公式.

非正弦電流 有效值 競賽題 一題多解

非正弦周期電流指的是不按正弦規律變化但具有周期性的電流，其有效值規定為：如果一個非正弦周期電流通過電阻R時消耗的功率跟一個恒定電流I通過同一電阻R時消耗的功率相同，那么這個恒定電流I，就叫做該非正弦周期電流的有效值.

對于由恒定電流與正弦交流疊加而成的非正弦的周期電流，其有效值可用一個導出公式來計算，但對于其他形式的非正弦周期電流卻不能隨意套用公式求有效值，否則會出錯.下面通過兩道例題來推導公式.

【例1】如圖1所示，光滑長導軌PQ和MN固定在水平面上，左端連接電阻R=1 Ω，以M點為坐標原點，MN為x軸，MP為y軸建立坐標系，則PQ軌道的方程為y=1.5+0.5sin20πx(m).現緊靠MP垂直于MN放置一根光滑導體桿，長度為2 m，質量m=0.2 kg，整個裝置處于磁感應強度大小B=1 T，方向豎直向下(垂直紙面向里)的勻強磁場中.導體桿從t=0時刻開始在水平向右的拉力F作用下以速度v=1 m/s從MP位置向右勻速運動，運動過程中桿與導軌保持良好接觸，除R外其他所有電阻忽略不計.求電流隨時間變化的表達式(以y軸正方向的電動勢方向為正)和電流的有效值.

圖1

解析:經過時間t導體桿的位移x=vt，則PQ軌道的方程為

y=1.5+0.5sin20πt(m)

感應電動勢為

u=Bvy=1.5+0.5sin20πt(V)

電流為

這是波動直流電，屬于非正弦的周期電流，可分解為恒定電流I1=1.5 A和正弦電流i2=0.5sin20πt兩部分，則在一個周期T內通過電阻R產生的熱量為

設原來電流的有效值為I，則在一個周期內有

Q=I2RT

聯立方程可得

如果將一條導軌的形狀由正弦曲線變為如圖2所示的脈動曲線，其中每一段曲線為正弦曲線的半波，那么電路中產生電流的有效值是多少呢？

圖2

圖3 圖4

可見，對于以上兩個電路而言，產生電流的有效值不同，因此求有效值的方法不同.

結論：對于電流i=I0+Imsinωt，其有效值為

含義：對于恒定電流i1與正弦交變電流i2的代數和i，其有效值I恰好等于恒定電流的有效值I1與正弦交變電流的有效值I2的平方和的平方根，即

該推論式只適用于波動直流i=I0+Imsinωt，不適用于恒定電流之和I=I1+I2，也不適用于脈動直流

【例2】(第一屆全國中學生物理競賽題)如圖5所示的電路中，直流電源的電動勢為5 V，正弦交流電源的電動勢為3 V，則電阻R上的電壓有效值為多少？

圖5 圖6

分析:當交流電在正半周時，直流電與交流電正向串聯，二極管正向導通；當交流電在負半周時，直流電與交流電反向串聯，由于直流電壓大于交流電壓最大值，則二極管仍正向導通，畫出電壓圖像如圖6所示.這是波動直流電，其大小按周期變化，由兩部分疊加而成，其中一部分為恒定直流，另一部分為正弦交流，可知電路中電壓的瞬時值為

圖7 圖8

圖9

根據有效值的定義可知

所以電壓的有效值為

結論:對于電壓u=U0+Umsinωt，其有效值為

含義:對于恒定電壓u1與正弦交變電壓u2之和u，其有效值U恰好等于恒定電壓的有效值U1與正弦交變電壓的有效值U2的平方和的平方根，即

該推論式只適用于波動直流電壓u=U0+Umsinωt，不適用于恒定電壓之和U=U1+U2，也不適用于兩個正弦交變電壓之和

u=Um1sinωt+Um2sinωt

總之，恒定電流與正弦交流疊加形成直流的有效值等于直流有效值與交流有效值的平方和的平方根.

以上特殊公式及結論都是根據有效值的定義來計算一種特殊形式的電流和電壓的有效值而得出的，下面從另外的角度來探討一般公式.

即

這表明交流電的有效值等于瞬時值在一個周期內的方均根.還可用微積分形式表示為

對于非正弦的周期量，如果不用微積分，可分三步求有效值，即對瞬時值先平方,再平均,后取平方根.

第一步：平方

利用半角公式

可得

第二步：平均

第三步：開方

所求有效值為

第一步：平方

利用半角公式可得

第二步：平均

第三步：開方

所求電流的有效值為

此外，由電工學可知，一個非正弦波的周期信號，可以看作是由一些不同頻率的正弦波信號疊加的結果，或者說，任何非正弦的周期信號都可以分解成一系列頻率成整數倍的正弦成分，把這些正弦成分叫做這個非正弦周期信號的諧波分量.對于非正弦波中的直流分量，可看作是頻率為零的正弦波.

非正弦的周期電壓可表示為

其中U0為直流分量，U1,U2,…為各交流分量的有效值.

根據有效值的規定和數學推導可以得出非正弦周期電壓的有效值計算公式為

即非正弦周期電壓的有效值等于各諧波分量有效值平方和的平方根.

對于非正弦周期電壓

是一種最簡單的非正弦周期電壓，其中兩個諧波電壓的有效值分別為5 V和3 V，所以,加在電阻兩端的非正弦交流電壓的有效值為

由此可見，對同一非正弦周期電壓有效值問題，多種解法得到同一結果，殊途同歸.

總之，非正弦周期量的有效值，等于它的直流分量、基波和各高次諧波有效值平方和的平方根.

特殊情形是，恒定電流與正弦交變電流疊加所形成波動直流電的有效值等于直流有效值與交流有效值的平方和的平方根.這是一種最簡單的非正弦周期電流有效值的計算方法.考慮到非正弦的周期電流有多種形式，因此在利用推論式計算有效值時，要注意其適用范圍，不能生搬硬套.

1 王志剛.對一道有效值試題的研究.物理教學，2014(2)

2 吳萬盛.一道物理競賽題的新解法.物理通報，2005(12)

3 王力航.由一道競賽題談交流直流疊加時有效值的求法.中學物理教學參考，2008(10)

4 李慶國.關于一個“有效值”問題的討論.中學物理，2005(8)

5 朱建廉.一類交變電流有效值的求解方法研究.物理教師，2005(10)

6 周紹敏.電工基礎(第3版).北京：高等教育出版社，2005.270

2015-05-22)