圓周運動加速度一種新的推導方法

駱明輝 余小剛 楊 芳

(閩南理工學院 福建 泉州 362700)

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圓周運動加速度一種新的推導方法

駱明輝 余小剛 楊 芳*

(閩南理工學院 福建 泉州 362700)

主要從加速度的基本定義出發(fā)，給出了一種新的推導方法，用以推導圓周運動的加速度.這種推導方法緊扣加速度的基本定義，淺顯易懂，有助于學生加深對加速度的理解.

圓周運動 法向加速度 切向加速度

1 引言

目前普通物理的教科書中，一般都是利用勻速圓周運動和引入相似三角形來推導圓周運動的法向加速度[1,2].這種方法雖然直觀性較強，但其物理意義不夠明確，而且與前面的直線運動中加速度的推導關聯也不大.關于圓周運動加速度的推導方法，也有一些學者用了多種其他方法進行了推導，但是這些方法大多都比較注重數學推導，而物理意義不夠明確.本文的主要目的是提出一種新的方法來推導圓周運動的加速度.該方法簡潔、淺顯易懂，而且與之前所學的直線運動加速度的推導連接性較強，便于學生類比理解.

2 圓周運動加速度的推導

2.1 勻速率圓周運動的加速度

如圖1(a)所示，設質點在半徑為r的圓周上做勻速率圓周運動.在Δt時間內，質點從A點轉過Δθ后到達B點.質點在A,B兩點的速度分別為vA和vB，則速度的增量為

Δv=vB-vA

將速度增量Δv用矢量圖表示，如圖1(b)所示.設質點在勻速率圓周運動中的速率為v，則圖1(b)所示△OAB是一個等腰三角形，且

當Δt→0時，Δθ→0.由圖1(b)可以看出，此時速度增量Δv趨于與vA垂直.結合圖1(a)易知,Δv的方向指向圓心，即沿圓的法線方向.

圖1

綜上所述，在時間Δt趨于零的極限情況下，勻速率圓周運動中速度增量

Δv=len=vΔθen

(1)

其中，en為圓的法向單位矢量.

當時間Δt趨于零時，瞬時加速度等于平均加速度的極限，即

(2)

將式(1)代入式(2)中,且因a的方向沿法向指向圓心，故稱為法向加速度，用an表示

(3)

(4)

2.2 變速率圓周運動的加速度

如圖2所示，設質點在半徑為r的圓周上做變速率圓周運動.在Δt時間內，質點從A點轉過Δθ后到達B點.

圖2

質點在A,B兩點的速度分別為

vA=v(t)eA

vB=v(t+Δt)eB

其中，eA,eB分別是vA,vB方向上的單位矢量.則速度的增量為

Δv=vB-vA=v(t+Δt)eB-v(t)eA

由圖2(a)可以看出，質點在由A運動到B的過程中，不僅速度的大小發(fā)生了變化，方向也發(fā)生了改變.為了表征速度大小和方向的變化，對速度增量Δv進行如圖2(b)所示分解：以O為原點，OA為半徑作一圓弧交OB于C點.連接A，C兩點，則OA=OC，CB=OB-OC.由圖2(b)可知Δv=Δvn+Δvτ，其中，Δvn只表示速度方向的改變，Δvτ只表示速度大小的改變.

當Δt→0時，Δθ→0.由圖2(b)可以看出，此時Δvn的方向趨于與vA垂直，Δvτ的方向趨于與vA同向.結合圖2(a)易知：Δvn的方向指向圓心，即沿圓的法線方向；Δvτ的方向與vA同向，即沿圓的切線方向.

綜上所述，在時間Δt趨于零的極限情況下，有

(5)

Δvτ=[v(t+Δt)-v(t)]eτ

(6)

其中en為圓的法向單位矢量，eτ為圓的切向單位矢量.

由加速度的定義可知，在上述變速率圓周運動中，其加速度為

(7)

將式(5)和式(6)分別代入式(7)中可得

(8)

方向沿著法線方向，稱為法向加速度

(9)

方向沿著切線方向，稱為切向加速度.

綜上所述，質點做變速率圓周運動時，速度的大小和方向發(fā)都發(fā)生變化，其加速度等于法向加速度式(8)和切向加速度式(9)的矢量和.由前面勻速率圓周運動的分析可知：法向加速度an只改變速度的方向，不改變速度的大小；而切向加速度aτ則只改變速度的大小，不改變速度的方向.

3 討論

關于圓周運動加速度的推導方法，此前已經有很多學者從不同的角度給出了一些新方法.文獻[3]總結了常見的幾種推導法向加速度an和切向加速度aτ的方法.文獻[4]在圓周運動加速度的推導中使用了相對于時間t的對稱時間間隔，有助于理解法向加速度的方向指向圓心.文獻[5]從加速度坐標分量的定義出發(fā)，結合直角坐標系和自然坐標系之間的聯系直接求解.比較而言，文獻[5]給出的圓周運動加速度的推導方法更為簡單易懂，其具體推導方式如下.

如圖3(a)所示,設做變速圓周運動的質點在某點的速度為v，對其在x軸和y軸上進行分解可得

求導可得加速度分量為

由上式可得，其加速度為

a=axi+ayj=

(10)

建立如圖3(b)所示的自然坐標系，將切向、法向單位矢量分別在x和y方向上進行分解可得

(11)

將式(11)代入式(10)中，可以得到變速圓周運動的加速度為

(12)

圖3

以上推導過程簡潔明了，方法淺顯易懂，且整個推導過程沒有近似，讓學生對結果深信不疑.但是此種推導方法技巧性較強，容易讓學生產生為什么要這樣處理的疑問，不利于對加速度基本概念的理解.相比較而言，本文所提出的推導方法立足于加速度的基本概念，重點在于加深學生對加速度的理解，以及對物理中瞬時值和平均值的理解，有助于培養(yǎng)學生科學的物理思維方法.

4 總結

相對于其他學者的推導方法，本文所提出的圓周運動加速度的推導方法有以下特點：

(2)前后連接性強，有助于學生通過類比的方法加深對加速度定義和推導方法的理解.在大學物理的教學中，前一節(jié)直線運動中初次介紹了瞬時加速度的推導方法，因此，在后面的圓周運動中采用同樣的方法推導圓周運動的加速度，使得加速度的推導方法具有統一性，有助于學生加深對加速度的理解.

1 馬文蔚，周雨青.物理學教程(上冊).北京：高等教育出版社，2006.12～15

2 漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程 力學.北京：高等教育出版社，1997.40～43

3 孫瑛.曲線運動中an和aτ的數學導出及其求法.山東師范大學學報(自然科學版),1999,14(2):204～207

4 楊以綱，姜曉梅，于立軍.關于圓周運動加速度的推導.長春師范學院學報(自然科學版)，2005,24(6)：36～38

5 魯石珍，張景川.介紹一種推導圓周運動加速度的新方法.塔里木大學學報，2005,17(1)：82～83

A New Derivation Method on the Acceleration of Circular Motion

Luo Minghui Yu Xiaogang Yang Fang

(Minnan University of Science and Technology,Shishi,Fujian 362700)

Based on the basic definition of acceleration, a new derivation method is given in this paper.And the acceleration of circular motion is derived by the new derivation method.The derivation method not only focuses on the basic definition of acceleration but aslo be simple understood,otherwise it is helpful for students to deepening understanding acceleration.

circular motion; normal acceleration; tangential acceleration

*閩南理工學院教學改革與研究項目資助,項目編號：2015B24

駱明輝(1983- )，男，碩士，講師,主要從事大學物理的教學和研究工作.

2015-09-16)