“慢星參考系”法速解“天體追及”問題

石 睿

(福州第一中學 福建 福州 350108)

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中學物理教學

“慢星參考系”法速解“天體追及”問題

石 睿

(福州第一中學 福建 福州 350108)

提出用“慢星參考系”法解決高中物理教學中的難點與熱點問題——“天體追及”問題.

慢星參考系 天體追及問題

“天體追及”問題是萬有引力與航天版塊中的一個難點，也是近年高考中的熱點.在這類問題中，找到各天體運動的角度關系往往是解題的關鍵，而對大部分學生而言，這也是較難完成的部分.在實際教學中，可以嘗試“以慢星為參考系”的方法，幫助學生迅速、準確找到角度關系，解決“天體追及”問題.

圖1

【例1】(2010年高考上海物理卷第24題)如圖1所示，3個質點a，b，c質量分別為m1，m2，M(M? m1，M? m2).在c的萬有引力作用下，a和b在同一平面內繞c沿逆時針方向做勻速圓周運動，軌道半徑之比ra∶rb=1∶4,則它們的周期之比Ta∶Tb=______;從圖示位置開始，在b運動一周的過程中，a，b，c共線了______次.

解析：由開普勒第三定律易得

Ta∶Tb=1∶8

第2個空下面介紹兩種解法.

解法1：

設從開始到共線時，a和b轉過的角度分別為θa與θb，初始時a，b間的夾角為θ0，則第一次共線時，a，b分居c兩側，即

θa+θ0-θb=π

第二次共線時，a，b在同一側，即

θa+θ0-θb=2π

易知，第n次共線時，應有

θa+θ0-θb=nπ

即

(1)

可得

解法2：

設a的角速度為ωa，b的角速度為ωb，ωa>ωb，則稱a為快星，b為慢星.

若以慢星b為“參考系”，將b看作不動，易得共線時a相對于b轉過的角度為nπ-θ0，而a相對于b的角速度ωab=ωa-ωb，則

ωabt=nπ-θ0

即

(2)

可以看出，得到的角度關系式(2)與式(1)相同.

【例2】(2014年高考全國大綱卷物理第26題)已知地球的自轉周期和半徑分別為T和R，地球同步衛星A的圓軌道半徑為h，衛星B沿半徑為r(r

(1)衛星B做圓周運動的周期；

(2)衛星A和B連續地不能直接通訊的最長時間間隔(信號傳輸時間可忽略)．

解析：(1)根據開普勒定律和圓周運動規律可得

(3)

(4)

(5)

由式(3)～(5)，可得

圖2

圖3

【例3】(2014年高考全國新課標Ⅰ卷)太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動.當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，天文學稱之為“行星沖日”.據報道，2014年各行星沖日的時間分別為：1月6日木星沖日；5月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日.已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如表1所示，則下列判斷正確的是

表1 各行星繞日運動的軌道半徑

A．各地外行星每年都會出現沖日現象

B．在2015年內一定會出現木星沖日

C．天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半

D．地外行星中，海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短

解析：以慢星(地外行星)為“參考系”，設某顆地外行星相鄰兩次沖日的間隔時間為t，在t內，地球相對行星轉過2π ，則有

即

(6)

由于選項中時間單位為“年”，故將T地=1年代入式(6)，得

(7)

故選項A錯.

以AU和年為單位，由開普勒第三定律得

(8)

由式(7)、(8)及表1中的數據，易知選項D正確，且可得

故選項B正確.

由式(7)、(8)及表1中數據，計算可知選項C錯誤.

本題除了運用慢星參考系之外，還將周期T以“年”，軌道半徑R以“AU”為單位，使得計算得到簡化.

1 高正球，金鳳權.天體運動中“追及問題”的解法探究.物理教師，2009(8)：53～54

2 劉文欣.巧選參考系在天體“追及相遇”問題中的應用.物理教師，2014(2)：84～85

2015-09-11)