落球法測液體黏度的深入研究

張進波

(江川縣第一中學 云南 玉溪 652600)

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落球法測液體黏度的深入研究

張進波

(江川縣第一中學 云南 玉溪 652600)

利用流體力學的知識對小球下落計時起點的確定進行理論推導，并給出了達到終極速度之前小球運動的距離與速度之間的函數關系，以及不同半徑的小球達到終極速度時其半徑與下落距離的關系.

落球法 粘滯系數 終極速度

在普通物理實驗中，測量液體黏度的方法有很多種：落球法(斯托克斯法)[1]、扭擺法[2]、轉筒法[3]和毛細法[4]等.落球法是眾多測量液體黏度方法中的一種[5],但該方法一般適用于測量黏度較大且有一定透明度的液體，在普通的實驗中我們都選擇常用的油作為測量對象.

實驗需要測量小球在盛有液體的圓桶內勻速鉛直下落時的速度，由于小球在下落運動時受到很多因素的影響，如小球的半徑大小，預留高度[6]，圓桶的形狀大小等，因此小球速度變化比較復雜.現有的文獻對用落球法測定液體黏度的研究主要集中在對小球半徑、補正系數和實驗誤差的討論[7].而一般實驗中的計時起點的確定都是憑經驗而定，并沒有從理論上給予證明，這樣往往會在實驗時引入誤差.準確地確定出小球下落的計時起點，從而能提高液體粘滯系數測量的精確度[8].

本文基于流體力學的有關理論對液體中運動的物體運動規律進行分析,用理論方法對實驗中計時起點的確定給予限定,并研究了小球速度達到終極速度之前小球半徑與下落距離的關系.

1 斯托克斯公式

各種實際液體都有不同的粘滯性，當液體流動時，平行于流動方向的各層流體速度都不相同，即存在著相對滑動，于是在各層之間就有摩擦力產生.這一摩擦力稱為粘滯力，它的方向平行于流動面，與流動方向相反，其大小與速度梯度及接觸面積成正比.

由于液體具有粘滯性，固體在液體內運動時，附著在固體表面的一層液體和相鄰層液體間有內摩擦阻力作用，這就是粘滯阻力.對于一個半徑為r的光滑圓球，以速度v在均勻的無限寬廣的液體中下落，若速度不大，球也很小，在液體中不產生渦流的情況下，可計算出球在液體中所受到的粘滯阻力為

f=6πηrv

此式也稱為斯托克斯公式，其中η為液體黏度，單位為Pa·s， r為小球半徑.

2 物體在流體中的受力

在基礎物理實驗中，落球法是常用的測量粘滯系數的方法.其測量液體粘滯系數的原理是：當小球在密度為ρ′,黏度為η的液體中鉛直下落時，對小球進行受力分析如圖1.可發現小球受3個力作用，即重力G(豎直向下)、液體浮力F(豎直向上)、液體的粘滯阻力f(豎直向上).設球以v=0的速度開始下落，則剛開始下落時阻力很小，小球開始加速運動，隨著v增大，粘滯阻力變大，而當速度達到一定值時，阻力與浮力之和等于重力，即

圖1 受力分析圖

mg=ρ′Vg+6πηrv

式中m為小球質量，V為小球體積，此時小球開始勻速下落，此時的速度稱為終極速度，也叫收尾速度.

3 物體在流體中運動

實驗中，我們必須要在小球速度達到收尾速度后才開始對小球進行計時及測量，下面就對小球下落后其速度達到終極速度后計時起點位置的確定進行推導.

由上式可知V為小球的體積，g為重力加速度，設ρ為小球密度，取豎直向下為x軸正向，開始下落點O(在液體表面)為坐標原點，開始下落時，小球速度為零，根據牛頓第二定律得

(1)

即

(2)

(3)

設

(4)

(5)

則

(6)

當小球下落后隨速度的增加，粘滯阻力增大,最終受力平衡，此時小球做勻速運動，加速度為零，則

a-bv=0

(7)

則小球的終極速度

(8)

可求得在達到終極速度前，小球下落距離與速度之間的函數關系為

(9)

式中x為小球運動的距離，代入式(6)，則

(10)

兩邊積分

(11)

當x=0，v=0時

(12)

則

(13)

令

(14)

則最終可得出

(15)

此式為小球達到終極速度之前，小球下落距離x與速度v之間的函數關系.

4 數值計算

為了定量研究小球在流體中的運動，我們用數值的方法計算小球在達到終極速度時在甘油中運動的距離.在計算中，我們取重力加速度g=9.8 m/s2，鋼球密度ρ=7.8×103kg/m3，甘油密度ρ′=1.26×103kg/m3，甘油黏度η=0.954 Pa·s，小球半徑變化范圍從10-2～10-5m，計算過程中，為了使結果快速收斂，我們取對數間隔

5 結論

根據我們的計算結果(圖2)，可得到如下結論.

當v=0.9v0時

x=x0(ln10-0.9)=1.402 58x0

當v=0.99v0時

x=x0(ln100-0.99)=3.615 17x0

當v=0.999v0時

x=x0(ln1 000-0.999)=5.908 76x0

而當v→v0時

x→∞

在實驗中,我們可以把計時起點設定在液面下x=5.908 76x0處，因為小球下落到此處時速度已達到0.999v0，與終極速度之差很小，誤差滿足大學物理實驗中對誤差的要求.

圖2 x-v0關系圖

同時，我們也得到小球速度達到0.999v0時小球半徑與下落距離的關系(圖3)

結果表明：對于半徑r<0.5 cm的小球而言，半徑對下落高度影響較小，但當小球半徑r>0.5 cm時，半徑對下落高度有較大影響.因此，在實驗室條件下，一般要求小球直徑小于1 cm.

圖3 r-x關系圖

6 討論

落球法測液體黏度，造成偶然誤差的主要因素有：(1)小球直徑的測量；(2)小球下落高度的測量；(3)小球勻速下落后時間的測量.且不同半徑的小球達到勻速運動所需的時間也是不同的，而為了減小實驗時的系統誤差，小球半徑的選擇要盡量小，這樣可使收尾速度較小使雷諾數R在實驗條件允許的范圍[9]，且斯托克斯公式是根據理想狀態下，既無渦流，液體均勻且無限寬廣的狀態下推出的，而真正實驗時小球是在有限的容器中下落，速度要比在無限容器中要小，所以容器的大小和形狀對小球下落的速度也會產生一定的影響[10].

1 趙學端，廖其奠.粘性流體力學.北京：機械工業出版社，2005.73～79

2 朱元凱, 洪彥若, 毛裕文. 內柱體扭擺衰減粘度計測量的基礎研究.北京科技大學學報,1979(2)

3 吳潔，劉曉燕.轉筒法測量液體粘滯系數公式的修正. 教育學院學報(自然科學版), 2008(3)

4 華中工學院.物理實驗 基礎部分.北京:高等教育出版社,1981.68～70

5 張淑貞.落球法測液體的粘滯系數小球收尾速度的研究.大學物理實驗，1998(1)：26～27

6 趙平華.落球法測液體的粘滯系數的研究.大學物理,2002,21(7):29～30,33

7 楊述武.普通物理實驗(一、力學及熱學部分).北京:高等教育出版社，2000.114～116，205～208

8 李俊來，封國林.測量G實驗中對小球和液體選擇的理論分析.工科物理,1998，11(1)：29～30

9 龔鎮雄，劉雪林.普通物理實驗指導.北京：北京大學出版社，1990

10 張雄等編.物理實驗設計與研究.北京:科學出版社,2001

2015-10-16)