光學元件撓性支撐結構廣義建模及優化設計

曹玉巖，王志臣，周 超，范 磊，韓西達，張耀祖

(中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033)

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光學元件撓性支撐結構廣義建模及優化設計

曹玉巖*，王志臣，周 超，范 磊，韓西達，張耀祖

(中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033)

建立了撓性支撐結構的力學模型及優化設計模型，以使光學元件撓性支撐結構同時滿足元件定位的剛度要求和溫度適應性的柔度要求，同時給出了相應的建模方法?？紤]撓性支撐結構是由圓周對稱分布的撓性單元組成的，故將撓性單元簡化為超靜定梁結構，應用虛功原理推導了撓性單元的徑向及切向剛度。然后，假設光學元件為剛性體，根據力平衡條件及變形協調條件，推導了撓性支撐結構的整體剛度，并引入修正因子補償了剛體假設帶來的誤差。最后，以撓性支撐結構總變形能為目標函數，推導了同時考慮撓性支撐結構幾何構形及參數的協同優化設計模型，通過引入了整型變量將結構整體剛度簡化為整型變量和離散剛度的線性組合，從而使優化模型中不含有諧波函數項?；跀抵捣抡婧蛯嶒瀸Y構剛度模型進行了驗證，結果顯示：實驗、仿真和理論計算結果一致。此外，以透鏡支撐為例，驗證了撓性支撐結構的優化設計方法，有限元分析結果表明，透鏡面形精度較初始設計提高了23%。

光學元件；撓性支撐結構；廣義模型；超靜定；變形能；優化設計

1 引 言

撓性結構已廣泛應用于多個領域，如光學設備[1]，陀螺儀[2]，傳感器及驅動器[3]，微位移定位平臺[4]。撓性結構得以廣泛應用主要由于其具有以下優點：(1)具有很高的重復精度；(2)低摩擦性；(3)容易加工制造且成本相對較低。

光學元件的面形精度決定了光學系統性能，而光學元件的安裝和定位結構又是保證面形精度的關鍵因素。在光學設備中，撓性結構主要用于光學元件的支撐與定位結構[5-7]。光學元件，尤其是大口徑的元件，需要非常復雜的撓性支撐定位結構來保持元件的位置及面形精度[8-9]。這是因為撓性結構在某些自由度上具有一定的柔度，容許該自由度上有少量可控的相對位移，在其它方向上則具有較大剛度。在環境溫度變化時，光學元件及其支撐組件將產生變形，熱變形系數的不匹配將導致出現接觸應力，接觸應力將直接影響光學元件的面形，甚至造成破壞，而撓性結構的柔度可以有效地減小這部分接觸應力[10-13]。

盡管撓性結構具有以上優點，但撓性支撐結構的建模非常復雜，尤其是多個撓性元件同時作用時。趙磊等[10]設計了光刻投影物鏡中透鏡的支撐結構，軸向采用的是多點撓性支撐結構，支撐中的彈性片簡化為懸臂梁模型，但未深入分析彈性片數目對面形精度的影響。李宇軒等[14]針對空間遙感器大口徑主反射鏡提出了Cartwheel型雙軸柔鉸的三點撓性支撐結構，柔鉸的參數采用無量綱設計方法確定。盡管通過此方法確定的參數可以滿足設計要求，但無法確定此參數是否為最佳參數。曹乃亮等[15]提出將NiTi記憶合金絲復合于柔性件周邊，借助預應變產生的拉應力來降低柔性件根部的應力集中問題，將柔性件切口等效為彎扭組合的梁結構，根據NiTi合金絲的本構方程設計了兩種復合方案，采用有限元軟件進行分析。

撓性支撐結構功能包括兩個方面：(1)定位，即要求支撐結構具有一定的剛度，使得光學元件處在不同姿態時，能夠保持其光軸位置不變；(2)協調變形，即當存在溫度梯度時，支撐結構要有一定撓性來協調因熱變形系數不匹配帶來的變形偏差。撓性結構的這兩方面功能是矛盾的，因為如果要保持位置不變，撓性件剛度應盡可能大，若為協調變形，則撓性件柔度應盡可能大。為平衡上述矛盾，需要根據撓性支撐結構的數學模型及使用要求，對各個參數進行優化，進而得到合理方案。為此，本文提出了一種撓性支撐結構的廣義模型，該模型適合于多種類型的撓性支撐結構。在力學模型的基礎上，提出了一種用于同時優化撓性支撐結構幾何構形和參數的模型。模型中通過引入整型變量將撓性支撐結構整體剛度表達為整型變量與離散剛度的線性組合，從而簡化模型優化的復雜程度。從數值仿真和實驗角度對整體剛度模型進行驗證，此外，以420 mm口徑的透鏡為例，進行了撓性支撐結構的優化設計，并應用有限元軟件分析了優化設計前后透鏡表面面形精度。

2 撓性支撐結構力學建模

撓性支撐結構如圖1所示。由圖1可知，光學元件的邊緣被粘接在多個相同的均勻分布的撓性單元上。相比傳統剛性支撐結構，撓性支撐結構具有很多優點：(1)在受到沖擊、振動及溫度應力等影響后，光學元件的位置及共軸精度不會受到影響，因為撓性元件具有變形可恢復的特點；(2)當溫度變化導致光學元件與其它結構變形不一致時，撓性結構可明顯減小溫度應力，因為撓性構件在光學元件熱變形方向上具有較大柔度。以Φ110 mm透鏡為例，溫度變化為30 ℃時，傳統剛性支撐與撓性支撐兩種情況下，透鏡上表面的變形如圖2所示，其中剛性支撐情況下透鏡下面形峰-谷值(PV)和均方根面形(RMS)分別為16.34 nm和4.12 nm，撓性支撐情況下透鏡面形的PV和RMS分別為3.23 nm和0.82 nm。從圖2中可以看出撓性支撐情況下透鏡面形明顯優于剛性支撐。此外，還可根據光學元件尺寸將該撓性支撐結構設計為不同的幾何構形，以滿足接觸點處的最大應力要求，如圖3所示。

盡管撓性支撐結構具有上述優點，但由于其存在撓性環節，使得光軸處于水平位置時會產生一定的偏移，且整個支撐組件的諧振頻率要低于剛性支撐。為了合理設計該結構，需要研究光軸偏差、諧振頻率與結構參數及幾何構形的關系，進而使設計滿足性能指標要求。

圖1 撓性支撐結構概念

(a)剛性支撐

(b)撓性支撐

Fig.2 Deformation of top surface of lens under rigid and flexure mounting respectively

(a)三撓性單元

(b)四撓性單元

(c)五撓性單元

(d)六撓性單元

2.1 撓性單元剛度分析

圖1所示的撓性支撐結構中，關鍵部分為對稱分布的撓性單元，如圖4(a)所示。圖4(b)為其等效模型。對于圖1所示撓性支撐結構，Yolder[5]將其簡化為彈簧結構，如圖5所示，每個撓性單元具有徑向和切向剛度。將撓性單元簡化為兩個方向上的彈簧雖是合理的，但在撓性單元與光學元件結合點處存在約束不足的問題，使得其等效剛度要小于實際模型剛度。為此，本文采用懸臂梁等效，如圖4(b)所示，在結合點處增加了轉動約束ROTz=0，使得結構成為超靜定形式。撓性單元結構參數包括：有效長度l，厚度t，面內寬度b。

(a)撓性單元

(b)等效模型

圖5 撓性支撐的彈簧模型

解除圖4(b)所示超靜定梁上的連接點B和C的約束，其等效靜定結構如圖6所示，其中Xi(i=1，2，3，4)為未知廣義力，Fr為徑向力，Ft為切向力。

撓性單元的切向剛度Kt可以直接由下式得到：

(1)

式中：δt為C點處的切向位移，E為彈性模量，A為截面面積。

圖6 超靜定梁的等效靜定結構

由圖6可知，由徑向力Fr和未知力Xi引起的懸臂梁截面上的彎矩為：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

根據虛功原理，在C點處由Fr和Xi引起的位移分別為：

(8)

(9)

由B點和C點處位移邊界條件，結合式(8)和(9)可得：

(10)

(11)

撓性單元的最大彎曲應力為：

(12)

2.2 撓性支撐結構整體剛度分析

按撓性單元的懸臂梁等效模型，將圖3所示的撓性支撐結構等效為如圖7所示的模型，若其安裝時存在夾角α，其受力分析和位移分析結果如圖8所示。模型中考慮了幾何構形的因素，即撓性單元數量對剛度的影響。圖8中Fi表示連接點Pi處撓性件受到的外力，可將其分解為徑向力和切向力Fir和Fit，Fiy為Fi的豎向分力，δir和δit分別表示連接點Pi處的徑向位移和切向位移，δiy表示豎向位移，δix表示橫向位移，n為撓性單元的數目i=1，2，…，n。

圖7 撓性支撐結構等效模型

(a)力分析

(b)位移分析

根據幾何關系，豎向分力Fiy(i=1，2，…，n)可表示為：

(13)

根據豎向力平衡關系，即：

(14)

式中G為光學元件的重力。

豎向位移δiy可表示為：

(15)

由于重力方向豎直向下，撓性支撐結構連接點Pi處將僅有豎向位移，即：

(16)

根據式(16)知，δir和δit的關系可表示為：

(17)

與光學元件相比，撓性支撐整體具有一定的柔度，因此在推導光學元件整體剛度時，可假設光學元件為一剛性體，則連接點Pi處的位移δiy均相等，即：

(18)

由式(16)和(17)得：

(19)

由式(1)知，每個連接點Pi的徑向位移和切向位移同樣滿足胡克定律，即：

Fir=Krδir，Fit=Ktδit.

(20)

由式(14)，(18)～(20)得：

(21)

撓性支撐結構的整體剛度為：

(22)

將式(1)和(11)代入式(22)得：

(23)

從式(23)可看出，該撓性支撐結構的整體剛度是彈性模量E，厚度t，寬度b，長度l，撓性單元數目n及安裝角度α的函數，即：

Kn=F(E，b，t，l，n，α).

(24)

這里要說明，盡管剛度表達式(23)是按豎向位移推導而來，但其具有一般性，即其它方向的剛度可以通過改變α值得到。

此外，若考慮到光學元件或其他構件自身的變形，則撓性支撐結構的整體剛度小于由式(24)表示的剛度。為此，在整體剛度模型，即式(24)中引入了修正因子λ，即：

Kn=λ·F(E，b，t，l，n，α)，

(25)

式中：λ大小由與撓性元件相連構件的剛度決定，完全剛性時λ=1。

作為特例，b=8，t=0.5，l=20，λ=1，材料為65 Mn，整體剛度Kn隨安裝角度α及撓性單元數目n的變化曲線如圖9所示。

從圖9中可以看出，隨安裝角度α變化撓性支撐的整體剛度保持不變。而保持參數不變情況下，隨著連接點數目增多，整體剛度增大。

圖9 整體剛度與安裝角度及連接點數目關系

Fig.9 Relationship between integral stiffness with mounting angle and the number of connecting points

3 考慮幾何參數及構形的撓性支撐結構優化設計

對于一個光學元件，如透鏡或反射鏡，設計撓性支撐結構，涉及選擇合適的材料，確定其最佳構形及幾何參數，以滿足光學指標要求。

以往的研究主要是先假定一種初始構形，然后優化幾何參數，若得到的幾何參數不符合工程應用實際，則改變其構形，重復上述過程。然而，這樣的優化并不能保證幾何構形及參數的最佳匹配。為此，本文提出了一種幾何構形及參數協同優化的設計方法。通常，撓性支撐結構材料選擇熱脹系數較小的銦鋼，其設計一般需要滿足以下條件：光軸水平放置時，光軸的偏移量要盡可能小，每個撓性單元的最大應力要滿足其強度條件，每個連接點處的應力要滿足光學材料的強度條件，此外，面形精度要盡可能高。

根據式(23)和上述設計要求知，該撓性支撐結構的一般模型可表達為：

minΦ(E,b,t,l,n)

(26)

式中：Φ為目標函數，可根據需要選擇不同指標作為目標函數，σf和σfmax分別為撓性單元的應力和其材料的最大許用應力，σg和σgmax分別為連接點處應力及光學材料的許用應力，b0，t0，l0，bmax，tmax，lmax分別為b，t，l的最小值與最大值。

由于撓性單元數目n無法加工為任意數目，且非整數的連接點數也無意義，因此n僅能取整數值。由式(23)表達的剛度模型是非常復雜的諧波函數，此類函數的優化非常困難。仔細觀察發現，若n取為整數值，則剛度表達式(23)也變為與n相對應的離散值，為此，在優化模型中引入0-1型整數變量xi(i=n0，n1，…，nmax)來簡化剛度表示式(23)。

首先引入徑向剛度系數Krn和切向剛度系數Ktn，將式(23)表達為：

(27)

式中：Krn，Ktn為由n確定的常數。

然后利用設計變量xi(i=n0，n1，…，nmax)，將撓性支撐結構整體剛度表示為：

xn1Kn1+…+xnmaxKnmax，

(28)

式中：設計變量xi取值為0或1，有且僅有一個xi取值為1，其余為0。

利用式(28)，優化模型(26)可重新表達為：

minΦ(E,b,t,l,xi)

(29)

式(29)中不含有諧波函數，簡化了模型的復雜性，使求解過程變得簡單。本文采用Lingo軟件整數和實數混合規劃程序完成上述模型的求解計算。

4 數值模擬與實驗測試

為了驗證提出的撓性支撐結構的力學模型及設計撓性支撐結構幾何構形及參數的協同優化算法，進行了如下數值仿真及實驗。

4.1 撓性支撐結構整體剛度仿真與實驗

以3個撓性單元情況為例，對撓性支撐結構進行仿真和實驗測試。撓性支撐結構試驗件和有限元模型如圖10所示，結構參數如表1所示。這里，撓性支撐與實際中用于支撐光學元件的結構有一些差別，主要為了方便測試其剛度。測試內容包括：(1)在結構一側施加拉力，拉力大小由力傳感器監視，采用直線光柵尺測量輸出位移，根據位移隨力的變化曲線得到結構整體剛度，圖11所示x軸方向；(2)轉動撓性支撐結構，使其具有一定的安裝角度，測試其它方向上的剛度，驗證結構剛度與安裝角度的關系，圖11所示y向和Ⅰ及Ⅱ方向。實驗測試裝置如圖12所示，其中測力傳感器精度為0.1 N，光柵尺的測量精度為0.1 μm。

圖10 撓性支撐結構件及其有限元模型

材料參數幾何參數彈性模量E/GPa210撓性單元數目n3泊松比ν0．3撓性單元厚度t/mm0．5密度ρ/(kg·m-3)7800撓性單元長度l/mm35撓性單元寬度b/mm4

圖11 剛度測試方向

圖12 實驗測試裝置

分別對撓性結構件x軸，y軸和Ⅰ方向施加0～400 N的作用力(Ⅱ方向與Ⅰ方向反對稱)，間隔為20 N，并在有限元模型及本文推導的理論模型上施加同樣的力，測量和計算得到的數據如表2～4所示。

表2 試驗件x向剛度測試數據

表3 試驗件y向剛度測試數據

表4 試驗件Ⅰ向剛度測試數據

應用最小二乘法分別對3個方向上剛度測試得到的離散位移數據進行線性擬合，得到的擬合結果、數值仿真及理論計算結果如圖13～15所示。

從圖13～15可以看出，3個方向上位移測試數據與有限元仿真數據吻合的非常好。然而，從圖13～15中還可以看出，由整體剛度模型(23)(即修正因子λ=1)計算得到的結果明顯小于實測及有限元仿真結果，其原因在于推導式(23)時，假設除撓性單元外其余部分為剛體，而試驗件的外框架并非理想剛體，因此實際撓性支撐結構的整體剛度低于理論計算結果。通過比較發現，當修正因子λ=0.65時，3個方向上的理論結果與實驗及仿真結果完全吻合。

此外，從3個方向的測試數據可看出，3個方向上的位移數據基本一致，證明此撓性件在各個方向上的剛度是一致的，與本文推導的理論模型結論一致。

圖13 x方向數據結果

圖14 y方向數據結果

圖15 Ⅰ方向數據結果

4.2 撓性支撐結構的優化設計

以透鏡支撐為例，透鏡的結構參數如表5所示，設計該透鏡的撓性支撐結構，使其面形精度達到最優，且在不同仰角位置光軸晃動量小于0.5 μm。由于透鏡面形精度很難用解析式表達，通常是采用有限元方法計算其變形，然后通過曲面擬合得到面形精度值[16-17]，這使得優化模型時無法直接利用面形精度作為目標函數或約束條件，而只能采用間接的方法。已有研究表明，面形精度隨透鏡與撓性單元作用力的增大而變差，但并未考慮撓性單元數目的影響。為此，本文以撓性支撐結構的總變形能作為目標函數，這樣能夠同時考慮撓性單元與透鏡的相互作用力及撓性單元數目對面形精度的影響，材料選取銦鋼4J32，參數如表6所示，將光軸位移作為約束條件，則優化模型可表達為：

(30)

式中：δT是溫差為ΔT是透鏡的徑向變形，撓性件幾何參數約束由加工能力決定，這里為簡化模型取l=35 mm。

表5 透鏡參數

表6 銦鋼材料參數

以3個撓性連接點情況為初始設計，首先調整撓性支撐結構參數，即厚度t和寬度b使得光軸水平時，光軸偏移滿足要求，并以此為初始設計參數。應用本文提出的優化模型即式(30)對透鏡撓性支撐結構進行優化，確定最佳的撓性單元數目及結構參數。

針對初始和最優情況下的結構參數，分別建立相應的有限元模型，并分析在環境溫差為50 ℃時，透鏡上表面的變形，其中有限元分析在PATRAN/NASTRAN軟件中實現。然后，分別對得到的變形數據進行擬合，除去剛體位移項，計算透鏡表面的面形誤差RMS值。由于理想的溫差環境及在此環境下檢測透鏡面形需要的實驗條件非常復雜，在此僅對其進行了數值仿真分析。

初始設計參數與最佳設計參數如表7所示，其中面形誤差RMS值為透鏡上表面面形，初始和最優情況下透鏡的變形如圖16(彩圖見期刊電子版)所示。

表7 初始及最佳參數

圖16 初始情況和最佳情況下透鏡變形云圖

模型的優化目標函數為環境存在溫差ΔT時撓性件的總變形能，從表7可以看出，最優情況下的變形能及面形誤差均小于初始3個連接點情況，表明撓性件變形能可以反映透鏡的面形誤差，以此為目標函數來簡化優化模型是合理的。此外，通過有限元分析得到的透鏡面形誤差RMS值可以看出，通過優化透鏡的面形精度提高了23%。

5 結 論

本文針對光學元件撓性支撐結構設計中剛度和柔度要求之間的矛盾，建立了光學元件撓性支撐結構的力學模型及優化設計模型。根據撓性支撐結構的特性，將各個撓性單元簡化為超靜定的梁，并推導了撓性單元的徑向及切向剛度。假設光學元件為剛性體，根據力平衡條件及變形協調條件，推導了撓性支撐結構的整體剛度，并引入了修正因子補償由剛體假設帶來的誤差。以撓性結構總變形能為目標函數，推導了同時考慮撓性支撐結構幾何構形及參數的協同優化設計模型，模型中通過引入了整型變形將結構整體剛度簡化為整型變形和離散剛度的線性組合，從而使優化模型中不含有諧波函數項。從數值仿真和實驗角度對整體剛度模型進行驗證，實驗結果與仿真及理論計算結果吻合的非常好。此外，透鏡撓性支撐結構優化設計結果表明，通過優化，透鏡面形精度較初始設計提高了23%。

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曹玉巖(1986-)，男，吉林大安人，助理研究員，2009年、2012年于西安電子科技大學分別獲學士、碩士學位，主要從事結構有限元理論、結構振動控制技術研究。E-mail：yuyan_cao@126.com

王志臣(1980-)，男，黑龍江大興安嶺人，副研究員，主要從事望遠鏡光機結構設計研究。E-mail：zcwang911@163.com

(本欄目編輯：馬 健)

(版權所有 未經許可 不得轉載)

General modeling and optimal design of flexure supporting structure for optical components

CAO Yu-yan*， WANG Zhi-chen， ZHOU Chao， FAN Lei， HAN Xi-da， ZHANG Yao-zu

(Changchun Institute of Optics， Fine Mechanics and Physics，ChineseAcademyofSciences，Changchun130033，China)

A mechanical and a parameter optimization model for flexure support structure of optical components were proposed to allow the flexure structure meet simultaneously the requirements of the stiffness for optical component position and the compliance for temperature adaptability。Meanwhile， the corresponding modeling method was investigated. As this flexure structure was consisted of several identical flexure parts， it was simplified into an indeterminate beam structure， and the radical stiffness and tangential stiffness were derived using the virtual work principle. Then， by assuming optical components for the rigid body， the whole stiffness of the flexure support structure was derived based on the force equilibrium and its compatible deformation， and the correction factor was introduced to compensate the error caused by the rigid assumption. Finally， the total strain energy of the flexure structure was taken as the objective function， and the collaborative optimization model was derived considering the geometrical pattern and parameters simultaneously. By introducing the integral variables， the whole stiffness of the structure was simplified into a linear combination of the integral variable and discrete stiffness， and the harmonic terms were eliminated. The whole stiffness model was verified by the simulation and experiment， and the experiment results are highly in agreement with the simulation results. A lens mounting was taken for an example， the optimization method of the flexure mounting structure was verified. The finite element simulation results show that the surface precision of the lens has been improved by 23%.

optical component； flexure mounting structure； general model； indetermination； strain energy； optimization design

2015-12-23；

2016-02-04.

國家自然科學基金資助項目(No.11403023)

1004-924X(2016)11-2792-12

TH703；TP273

A

10.3788/OPE.20162411.2792

*Correspondingauthor，E-mail：yuyan_cao@126.com