基于門限雙冪變差的資產(chǎn)價格時點波動非參數(shù)估計

沈根祥

(1.上海財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，上海 200433；2.上海財經(jīng)大學(xué)數(shù)理經(jīng)濟學(xué)教育部重點實驗室，上海 200433)

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基于門限雙冪變差的資產(chǎn)價格時點波動非參數(shù)估計

沈根祥1,2

(1.上海財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，上海 200433；2.上海財經(jīng)大學(xué)數(shù)理經(jīng)濟學(xué)教育部重點實驗室，上海 200433)

估計帶跳資產(chǎn)價格的時點波動時，需要用門限過濾方法消除跳的影響。在有限樣本下，門限過濾會產(chǎn)生錯濾偏誤和漏慮偏誤，降低估計精度。跳錯濾產(chǎn)生的偏誤可通過對錯濾樣本進(jìn)行補足的方法進(jìn)行糾偏，但由于發(fā)生時點未知，跳漏濾產(chǎn)生的偏誤無法糾正，只能通過估計量設(shè)計來減少漏濾偏誤。本文首次提出基于門限雙冪變差的時點波動估計量，采用核平滑方法對資產(chǎn)價格時點波動進(jìn)行非參數(shù)估計，有效減少跳錯濾導(dǎo)致的偏誤。采用隨機陣列極限理論，本文證明了估計量的一致性和漸進(jìn)正態(tài)性，在分析有限樣本偏誤的基礎(chǔ)上，給出估計量的糾偏方法。蒙特卡洛模擬表明，本文給出的估計量，漏濾偏誤明顯小于基于二次變差構(gòu)造的估計量，對時點波動估計的性質(zhì)具有實質(zhì)改進(jìn)。采用Kupiec動態(tài)VaR精度檢驗對滬深300指數(shù)的實證分析表明，本文給出的時點波動估計更能描述資產(chǎn)收益的波動特征。

時點波動；Poisson跳；雙冪變差；核平滑

1 引言

波動(Volatility)在金融理論和實踐起著重要作用。連續(xù)時間金融認(rèn)為，資產(chǎn)價格的波動具有隨機性和時變性，是隨機過程。波動過程在時間點上的值稱為時點波動(Spot Volatility)。方差的不可觀測性使波動成為隱變量(Latent Variable)，需通過資產(chǎn)價格樣本間接進(jìn)行估計。在較低頻率下(例如周、月等)，可采用ARCH類模型和SV模型等參數(shù)模型研究資產(chǎn)價格的波動，并采用極大似然方法估計模型參數(shù)。近年來，在對高頻數(shù)據(jù)的研究中，時點波動的估計和推斷顯現(xiàn)出重要性。鑒于時點波動不可觀測的特點，人們嘗試采用非參數(shù)方法估計時點波動并將估計值作為“樣本”，使波動過程變得“可觀測”，據(jù)此直接對波動進(jìn)行分析或者以此作為進(jìn)一步分析的基礎(chǔ)，以克服波動不可觀測的限制。Fan Jianqing和Wang Yazhen[1]采用核平滑技術(shù)給出高維隨機波動模型時點波動的一致估計及其漸進(jìn)分布，Kristensen[2]從RV的性質(zhì)出發(fā)給出擴散過程時點波動估計及其漸進(jìn)分布。Bandi和Reno[3]、Bollerslev和Todorov[4]在研究中把時點波動作為輸入變量，Ait-Sahalia等[5]在研究杠桿效應(yīng)時，討論了時點波動估計存在的各種偏誤對研究結(jié)果的影響。用非參數(shù)方法估計時點波動，對資產(chǎn)價格模型的約束少，與GARCH和SV模型相比，能減少模型設(shè)定誤差。

在高頻交易數(shù)據(jù)中，資產(chǎn)價格經(jīng)常發(fā)生跳躍[6]。跳的存在嚴(yán)重影響波動的估計準(zhǔn)確性，包括積分波動(Integrated Volatility)和時點波動。文獻(xiàn)中采用雙冪變差和門限二階變差兩種方法消除跳的影響。沈根祥[7]借助門限方法[8]，采用截尾收益平方構(gòu)造時點波動估計量來消除跳的影響，并允許資產(chǎn)價格存在杠桿效應(yīng)，推廣了Fan Jianqing和Wang Yazhen[1]和Kristensen的結(jié)論。門限截尾基于連續(xù)資產(chǎn)價格過程在很短時間內(nèi)的改變量已接近1的概率不超過某個門限值，并將超過臨界值的觀測值作為跳過濾掉。門限方法在跳過濾時會產(chǎn)生的兩類錯誤：錯濾和漏濾。將不是跳的超過門限值價格改變量作為跳濾掉會產(chǎn)生錯濾，錯濾導(dǎo)致估計量的下偏誤，而不能將小于門限值的跳過濾掉會產(chǎn)生漏濾，漏濾導(dǎo)致估計量的上偏誤。給定門限值后，兩類偏誤此消彼長：過大(小)的門限值在減少(增加)錯濾偏誤的同時，將增加(減少)漏濾偏誤。門限值給定后，哪些價格改變量被濾掉是知道的，可采用不同的方法對錯誤過濾掉的樣本進(jìn)行補足以減少錯濾偏誤。Corsi等[9]采用價格改變量的條件數(shù)學(xué)期望補充被濾掉的樣本，沈根祥[7]則采用鄰近未被濾掉的價格改變量均值補充錯濾樣本。采用門限方法對跳進(jìn)行過濾時，未被濾掉跳的位置是不知道的，因此不能進(jìn)行修正以減少漏濾偏誤。錯濾造成的估計偏誤大于漏濾造成的偏誤，往往取較大門限值以減少錯濾偏誤，這勢必增加漏濾偏誤[7]。如何減少跳漏濾導(dǎo)致的估計偏誤，是時點波動估計需要解決的問題。本文將消除跳影響的兩種方法結(jié)合起來，首次采用門限雙冪變差構(gòu)造時點波動估計量，以減少跳漏濾帶來的估計偏誤。

國內(nèi)對金融資產(chǎn)價格波動的研究大多以離散時間GARCH模型和SV模型為主，近年來出現(xiàn)的基于高頻數(shù)據(jù)的研究多為RV和IV的估計并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行含跳資產(chǎn)價格過程的建模。陳浪南和孫堅強[10]采用GARCH跳模型對上證指數(shù)的實證研究表明，指數(shù)中的Poisson跳存在時變特征和群集效應(yīng)，劉志東和陳曉靜[11]使用無限活躍Levy純跳CGMY模型研究上證綜指的跳規(guī)律，采用GMM方法估計模型參數(shù)，發(fā)現(xiàn)上證綜指中跳活躍BG指數(shù)小于1。王春峰等[12]基于BN-S方法對上證綜指已實現(xiàn)方差進(jìn)行分解，研究跳躍性方差的統(tǒng)計性質(zhì)，采用HAR-RV-CJ模型對已實現(xiàn)方差進(jìn)行預(yù)測，陳國進(jìn)和王占海[13]將滬深300指數(shù)的已實現(xiàn)方差分解為連續(xù)性方差和跳躍性方差并分別建立模型，楊科和陳浪南[14]用門限雙冪變差估計積分方差對BN-S方法進(jìn)行改進(jìn)后對上證綜指5分鐘高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行跳存在性檢驗，并使用ACD模型和ARCH模型對波動率中的跳行為進(jìn)行研究。沈根祥[6]采用門限雙冪變差改進(jìn)Lee和Mykland[15]的方法，對滬深300指數(shù)中泊松跳躍行為進(jìn)行了逐時點檢驗和統(tǒng)計分析。楊科等[16]將波動分解為跳波動和積分波動，并構(gòu)造包含跳的AHAR-RV-CJ模型對中國股市的已實現(xiàn)波動率進(jìn)行預(yù)測，并與其它波動預(yù)測模型進(jìn)行比較。時點波動估計方面，沈根祥[7]采用以門限二階變差為基礎(chǔ)，采用核平滑技術(shù)構(gòu)造了跳擴散過程的時點波動非參數(shù)估計。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中的時點波動估計均以價格過程的二階變差為基礎(chǔ)進(jìn)行構(gòu)造，本文首次以雙冪變差為基礎(chǔ)，結(jié)合跳過濾的門限方法構(gòu)造跳擴散過程時點波動的非參數(shù)估計，以最大程度減少跳漏濾帶來的估計偏誤。采用隨機陣列極限定理證明了估計量的一致性和漸近正態(tài)性。為更有效減少跳錯濾帶來的估計偏誤，本文采用跳發(fā)生點附近價格改變量的中位數(shù)作為被濾跳樣本的補充。蒙特卡洛模擬顯示，本文構(gòu)造的估計量能顯著減少跳漏慮帶來的估計偏誤，采用動態(tài)VaR精度檢驗對滬深300指數(shù)的實證分析表明，本文給出的時點波動估計更能描述資產(chǎn)收益的波動特征。

2 資產(chǎn)價格過程模型設(shè)定

dpt=μtdt+σtdwt+dJtt∈[0,T]

(1)

資產(chǎn)價格模型大多為右連續(xù)左極限存在的隨機過程，滿足條件A1.[17]。本文中的估計量基于核平滑非參數(shù)方法，對核函數(shù)和帶寬作如下假設(shè):

K1. 核函數(shù)K(·)為非負(fù)實值連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)數(shù)有界，并滿足：

∫RK(z)dz=1, ∫RzK(z)dz<∞, ∫RKm(z)dz≡Km<∞, m=2,4

K2. 帶寬(Bandwidth)h滿足：(i)h→0；(ii)當(dāng)n→∞、h→0時，nh→∞，nh2log(1/h)→0。

3 時點波動估計量及其性質(zhì)

3.1 具有杠桿效應(yīng)的擴散過程時點波動估計量

對任意時點t∈(0,T)，設(shè)Kh(s)=h-1K[(s-t)/h]為平滑核。首先定義資產(chǎn)價格過程不存在跳的時點波動估計量：

(2)

定理1：設(shè)pt為連續(xù)過程，dJt=0。如果條件(A1.)、(K1.)和 (K2.)滿足，對?t∈(0,T)，有：

(3)

由(3)第一式得出：

(4)

為敘述方便，設(shè)：

(5)

(6)

并且求和項均為鞅差序列，便于采用隨機分析工具。

其中：

關(guān)于Fi可測。根據(jù)Jacod 和 Shiryayev[19]，需要證明：

由此得出：

將D1變形為：

由條件(A.)可知σt是連續(xù)Ito半鞅[20]。根據(jù)Ito半鞅連續(xù)模得出|σi-1-σi|≤c[δlog(1/δ)]1/2，并根據(jù)布朗運動連續(xù)模得出：

對于D2，采用如下分解：

本定理的證明與Corsi[9]、Reno和Bandi[3]等核心定理的證明采用了類似的理論工具，但存在區(qū)別。Corsi、Reno和Bandi構(gòu)造的是已實現(xiàn)波動估計量，是時間區(qū)間上波動的總和，本文構(gòu)造的是時點波動估計量，采用了核平滑方法，需要證明核權(quán)重的隨機變量部分和的中心極限定理，其中D2收斂于0的證明為新增內(nèi)容。

3.2 含Poisson跳的資產(chǎn)價格時點波動估計量

由Poisson過程的性質(zhì)可知，[0,1]區(qū)間內(nèi)只有有限次跳躍發(fā)生，當(dāng)n→∞時，相鄰區(qū)間(ti-1,ti]和(ti,ti+1]中至多有一個區(qū)間內(nèi)發(fā)生跳。設(shè)跳躍發(fā)生次數(shù)為N，最大跳幅為M。|Δip|和|Δi+1p|只有一個包含跳，另一個為連續(xù)擴散過程的增量，不妨設(shè)為|Δip|。對|Δip|利用擴散過程連續(xù)模性質(zhì)，再根據(jù)核函數(shù)K的有界性，得出：

T. 門限函數(shù)?(δ)滿足：limδ→0?(δ)=0，limδ→0[δln(1/δ)]/?(δ)=0。

(7)

定理3：設(shè)資產(chǎn)價格過程pt滿足式(1)，且dJt≠0。如果條件(A1.)、(A2.)、(K1.)和(T.)滿足，則對?t∈(0,T)

∑iKh(ti)|Δip||Δi+1p|I{(Δip)2≤?(δ)}

I{(Δi+1p)2≤?(δ)}=∑iKh(ti)|Δip||Δi+1p|I{(Δip)2≤?(δ)}I{(Δi+1p)2≤?(δ)}I{Ni=0,Ni+1=0}+∑ti≠tKh(ti)

|Δip||Δi+1p|I{(Δip)2≤?(δ)}I{(Δi+1p)2≤?(δ)}I{Ni≠0or Ni+1≠0}=∑iKh(ti)|Δipc||Δi+1pc|+∑ti≠tKh(ti)|Δip||Δi+1p|I{Ni≠0 Ni+1≠0}

設(shè)NT為(0,T)上Poisson跳發(fā)生次數(shù)，根據(jù)泊松過程性質(zhì)NT<∞ a.s.，因此：

Mancini[8]提出的門限過濾技術(shù)多用于區(qū)間上已實現(xiàn)波動的估計，定理3將這種方法用于時點波動估計量中心極限定理的證明，需要證明帶核權(quán)重濾掉項的漸近可忽略性。

定理3中的結(jié)論是δ=n-1→0的漸進(jìn)結(jié)論，當(dāng)n有限時存在跳過濾導(dǎo)致的有限樣本偏誤。偏誤有兩種，連續(xù)擴散過程產(chǎn)生的價格改變量超過門限值被當(dāng)做跳錯誤過濾掉，Poisson跳過程產(chǎn)生的價格改變量沒有超過門限值而沒有被過濾，前一種造成向下偏誤，后一種則造成向上偏誤。

3.3 跳過濾偏誤及其糾正

A1i=|Δipc|Δi+1pc|I{(Δipc)2>?(δ)or(Δi+1pc)2>?(δ)}

A2i=|Δip|Δi+1p|I{Ni≠0 or Ni+1≠0}

I{(Δip)2≤?(δ),(Δi+1p)2≤?(δ)}

其中A1i為錯濾項，A2i為漏濾項。對于A2i，根據(jù)Poisson過程的性質(zhì)和沈根祥[7]得出：

E(A2i)≤?(δ)P[(Ni≠0)∪(Ni+1≠0)]=ο(δ)

對于A1i，根據(jù)Holder不等式和沈根祥[7]得出：

錯濾項和漏濾項的期望值都是δ的無窮小量。

盡管錯濾和濾漏偏誤都是無窮小量，但前者趨于0的速度遠(yuǎn)低于后者[7]。為減少偏誤，對錯濾進(jìn)行糾偏。具體做法是當(dāng)(Δipc)2>?(δ)時，用附近區(qū)間上價格改變量絕對值|Δi±kp|,k=1,2的中位數(shù)代替|Δip|。此外，估計式的權(quán)重項Kh(ti)是核函數(shù)積分的離散化，和并不等于1，為減少偏誤，將(7)式關(guān)于權(quán)重標(biāo)準(zhǔn)化，得出跳錯濾糾偏后時點波動估計量：

(8)

其中med表示中位數(shù)。作為濾掉價格改變量的補足，采用中位數(shù)比采用平均值更穩(wěn)健[7]。

3.4 與其他估計量的比較

3.5 最優(yōu)帶寬和核函數(shù)

4 蒙特卡洛模擬

本部分通過隨機模擬來評價時點方差估計量的效果，考察Poisson跳對時點波動估計的影響以及時點波動估計量的有限樣本表現(xiàn)。

4.1 模擬數(shù)據(jù)

表1 濾偏誤比較

杠桿效應(yīng)通過價格過程布朗運動w和波動過程布朗運動B的相關(guān)性來刻畫，相關(guān)系數(shù)為ρ。模擬以滬深300指數(shù)日內(nèi)五分鐘交易為對象，時間跨度為一年。參數(shù)取值與模擬數(shù)據(jù)產(chǎn)生的步驟與沈根祥[7]相同。

4.2 最優(yōu)帶寬和門限函數(shù)

本文采用沈根祥[7]中帶寬參數(shù)的確定方法，取帶寬為h=Cn-0.4999。交叉驗證表明，對應(yīng)ρ值-0.25、-0.5和-0.75的最優(yōu)帶寬參數(shù)c0分別為1.70、0.45和0.50，并且不受跳頻度參數(shù)λ的影響。選取合適的門限函數(shù)有利于減少有限樣本偏誤。本文采用沈根祥[7]的門限函數(shù)?(δ)=12000-0.99≈8.95×10-4。

4.3 時點波動估計跳漏濾偏誤比較

對表1中結(jié)果給出如下解釋：

跳頻度對漏濾偏誤的影響：跳頻度對漏濾偏誤有顯著影響，頻度越高，漏濾偏誤越大。從表1中看出，λ的值從1/240(每周發(fā)生一次跳)逐漸增加1/24(每兩個小時發(fā)生一次跳)時，對應(yīng)的漏濾偏誤隨之增加。跳頻度增加時，跳發(fā)生次數(shù)增加，漏濾發(fā)生次數(shù)增加，導(dǎo)致漏濾偏誤增加。

杠桿效應(yīng)對漏濾偏誤的影響：杠桿效應(yīng)強度影響漏濾偏誤，杠桿效應(yīng)越強，漏濾偏誤增大。從表1中看出，ρ的大小從0.25增加到0.75時，對應(yīng)的漏濾偏誤在大多情況下是增加的，只有在λ=1/24對應(yīng)的ρ從0.5增加到0.75時，Bias1有稍微減少，以及λ=1/48對應(yīng)的ρ從0.5增加到0.75時，Bias有稍微減少(表1中的下劃線數(shù)據(jù))。

5 實證分析—基于VaR測度的時點波動估計比較

GED分布為對稱分布，均值為0，β<2時比正態(tài)分布有更厚的尾部，β=2時GED分布為正態(tài)分布，β→∞時，GED的極限分布為[-31/2,31/2]上的均勻分布，據(jù)此可以充分刻畫金融數(shù)據(jù)的厚尾性。

設(shè)N0為rt序列中LSt取0的個數(shù)，N1為LSt取1的個數(shù)，N=N0+N1為序列長度，τ=N1/N稱為失敗率，τ越接近p表明VaR估計越精確。據(jù)此Kupiec構(gòu)造極大似然比檢驗統(tǒng)計量LR：

LR=-2(ln[(1-p)N0pN1]-ln[(1-τ)N0τN1])

在原假設(shè)H0:τ=p下，LR～χ2(1)。

表2 VaR精度比較

**表示已0.01顯著水平拒絕原假設(shè)。

6 結(jié)語

本文以價格改變量的雙冪變差為基礎(chǔ)，給出一類新的資產(chǎn)價格時點波動估計量，顯著減少跳過濾帶來的漏濾偏誤。采用隨機陣列中心極限定理，本文得出估計量的一致性和漸進(jìn)正態(tài)性。蒙特卡洛隨機模擬的結(jié)果表明，無論是以單路徑累積偏誤均值為標(biāo)準(zhǔn)，還是以平均路徑累積偏誤為標(biāo)準(zhǔn)，本文給出估計量的漏濾偏誤在所有情況下都顯著小于以二次變差為基礎(chǔ)構(gòu)造的時點波動估計量，使跳擴散過程資產(chǎn)價格時點波動估計量的性質(zhì)得到實質(zhì)性改進(jìn)。基于滬深300指數(shù)的VaR精度kupiec檢驗進(jìn)一步表明，與門限二次變差時點波動估計相比，本文給出的時點波動估計更能刻畫資產(chǎn)收益的風(fēng)險特征。

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Nonparametric Estimation for Spot Volatility of Asset Price Using Bipower Variations

SHEN Gen-xiang1,2

(1.School of Econmics,Shanghai University of Finance and Economics,Shanghai 200433,China;2.Key Laboratory of Mathematical Ecnomics(SUFE),Ministry of Education,Shanghai 200433,China)

The threshold jump-annihilating method to estimate spot volatility of jump-diffusion asset price processes can miss the small jumps and bring about upward bias[Corsi & Reno, JoE 2010 ]. In this paper, a new spot volatility estimator of asset prices is proposed based on bipower variation that reduces significantly finite-sample upward bias from jump-filtering-missing. The consistency and asymptotic normality is established. An extensive Monte Carlo simulation shows that the estimator in the paper outperforms the others in literature. The empirical study using Kupiec test based on sample from CSI300 shows that our spot volatility estimator can capture the feather of market risk more accurately.

Spot Volatility; Poisson Jumps; Bipower Variation; Kernel Smoothing

1003-207(2016)01-0021-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.01.003

2014-03-17；

2015-02-14

教育部人文社科研究規(guī)劃基金資助項目(13YJA790095)資助；上海財經(jīng)大學(xué)數(shù)量經(jīng)濟教育部重點實驗室開放課題資助(201301KF01)

簡介：沈根祥(1964-)，男(漢族)，河南許昌人，上海財經(jīng)大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：金融計量學(xué)，金融市場數(shù)量分析，E-mail:syxman@shufe.edu.cn.

F830.9

A