基于高斯偽譜法的鉆地炸彈非線性最優(yōu)彈道設(shè)計(jì)

何 穎,楊新民,戴明祥,易文俊

(南京理工大學(xué)瞬態(tài)物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210094)

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基于高斯偽譜法的鉆地炸彈非線性最優(yōu)彈道設(shè)計(jì)

何 穎,楊新民,戴明祥,易文俊

(南京理工大學(xué)瞬態(tài)物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210094)

針對(duì)鉆地炸彈落角大、質(zhì)量重、機(jī)動(dòng)能力差的特點(diǎn),文中采用Gauss偽譜法求解了同時(shí)滿足路徑約束和終端約束條件下的過載最小最優(yōu)彈道。利用全局插值多項(xiàng)式估計(jì)將非線性彈道方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)約束方程,從而將復(fù)雜的非線性最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。通過仿真對(duì)比得出基于偽譜原理的優(yōu)化彈道全程過載均勻且最低,較好的實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)任務(wù),體現(xiàn)了文中的最優(yōu)彈道設(shè)計(jì)方法的有效性和應(yīng)用潛力。

鉆地炸彈;Gauss偽譜法;非線性;彈道優(yōu)化

0 引言

鉆地炸彈是攜帶鉆地彈頭鉆入地下深層或地面加固目標(biāo)內(nèi)爆炸的攻擊彈藥,用于打擊敵方地下指揮所、加固工事掩體等目標(biāo),其載體一般為巡航導(dǎo)彈、航空炸彈、地-地導(dǎo)彈等。從20世紀(jì)60年代鉆地彈的稚形形成以來,經(jīng)過幾十年的不斷改進(jìn),鉆地炸彈實(shí)現(xiàn)了制導(dǎo)化和精確化,正逐步向著高精度、大威力的方向發(fā)展。然而由于鉆地彈體積大、質(zhì)量重,特別是受載具限制(如隱身戰(zhàn)機(jī))其翼展不能過大,難以提供足夠升力,可用過載相對(duì)較小;同時(shí)為了實(shí)現(xiàn)鉆地深度和毀傷效果的最大化,一般要求以攻頂打擊為宜。因此,如何在保證垂直攻擊(彈著角近似90°)條件下過載最小的彈道軌跡優(yōu)化顯得十分必要。

彈道軌跡優(yōu)化問題是一個(gè)較為復(fù)雜的非線性最優(yōu)制導(dǎo)控制問題。目前求解最優(yōu)控制問題的主流方法有直接法和間接法[1]。間接法的基本原理是基于Ponryagin極大值原理將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為Hamilton邊值問題(HBVP)。由于Hamilton函數(shù)對(duì)邊界條件的敏感性以及共軛變量難以估計(jì)[2],使得采用間接法求解最優(yōu)控制問題難以實(shí)現(xiàn),而直接法則無需求解一階最優(yōu)條件。偽譜法則是基于全局插值多項(xiàng)式的一種直接法,其優(yōu)勢(shì)是可以用較少的節(jié)點(diǎn)獲得較高的精度[2-3]。

文中針對(duì)鉆地炸彈大落角、低過載的要求,提出了一種基于Gauss偽譜法(gauss pseudospectral method,GPM)的過載最小、垂直落角約束的最優(yōu)彈道設(shè)計(jì)。通過與采用比例制導(dǎo)律、計(jì)及重力補(bǔ)償比例制導(dǎo)律以及落角約束制導(dǎo)律的比較,驗(yàn)證文中所采用彈道優(yōu)化方法的可行性和有效性。

1 問題描述

假設(shè)鉆地炸彈從高空以給定的高度、速度和角度開始導(dǎo)引飛行,在保證準(zhǔn)確擊中目標(biāo)的同時(shí),要求彈道落地角近似90°,并優(yōu)化彈道使其在整個(gè)導(dǎo)引飛行過程中法向控制過載最小。

1.1 運(yùn)動(dòng)方程

炸彈的一般運(yùn)動(dòng)是由其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和繞其質(zhì)心的

轉(zhuǎn)動(dòng)而組成。受篇幅所限和闡述方便,文中不考慮炸彈的姿態(tài)變化,僅將炸彈當(dāng)作可操控質(zhì)點(diǎn)來研究,其質(zhì)心彈道運(yùn)動(dòng)方程如下[5]:

(1)

式中:v為炸彈速度;θ為彈道傾角;ψv為彈道偏角;x、y、z分別是炸彈在地面坐標(biāo)系下的坐標(biāo)位置;cx為氣動(dòng)阻力系數(shù);s為參考面積;m為彈丸質(zhì)量;g為重力加速度;ny、nz分別表示法向過載和側(cè)向過載。

1.2 約束條件

①狀態(tài)約束

②終端約束

為了保證目標(biāo)命中率和著角約束,考慮終端約束:[θ,x,y,z]T=[θT,xT,yT,zT]T。

③控制變量

取控制變量u=[u1,u2]T=[ny,nz]T。

④性能指標(biāo)

2 GPM離散最優(yōu)控制問題

偽譜方法是將復(fù)雜的非線性連續(xù)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題(NLP)的離散化估計(jì)方法。根據(jù)離散節(jié)點(diǎn)選取的不同,偽譜法可分為Gauss偽譜法(GPM)、Legendre偽譜法(LPM)、Radau偽譜法(RPM)、Chebyshev偽譜法(CPM)及Jacobi偽譜法(JPM)等,其中GPM直接采用勒讓德多項(xiàng)式的根作為其節(jié)點(diǎn)。由于GPM離散化的近似精度較高,收斂速度較快,因此文中采用GPM偽譜法。

GPM的基本思路是采用全局多項(xiàng)式估計(jì)將狀態(tài)量和控制量在特定的節(jié)點(diǎn)處離散近似,通過對(duì)狀態(tài)量求導(dǎo)得出動(dòng)態(tài)方程的近似估計(jì),并采用數(shù)值積分和Gauss正交原理處理終端約束和性能指標(biāo),使得整個(gè)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題。

2.1 動(dòng)態(tài)方程離散近似

GPM的離散點(diǎn)κ={τ1,…,τK}為K階Legendre-Gauss點(diǎn),它是K階Legendre多項(xiàng)式PK(τ)的根,LG節(jié)點(diǎn)分布在(-1,1)之間,增加τ0=-1構(gòu)成[-1,1)之間的(K+1)個(gè)插值點(diǎn),以(K+1)階Lagrange插值多項(xiàng)式Li(τ)(i=0,1,…,K)為基函數(shù)來近似變量。Li(τ)定義為:

(2)

可以證明該多項(xiàng)式具有性質(zhì):

(3)

假設(shè)最優(yōu)控制問題動(dòng)態(tài)方程為:

(4)

區(qū)間[t0,tf]到[-1,1]的轉(zhuǎn)換公式為:

(5)

則狀態(tài)變量x(t)可近似為:

(6)

由Li(τ)的性質(zhì)可知,在[-1,1)內(nèi)的所有節(jié)點(diǎn)處都可以使估計(jì)值等于實(shí)際值,即x(τi)=X(τi),(i=0,…,K)。

(7)

值得注意的是,控制量的近似區(qū)間(-1,1)不包含端點(diǎn),而狀態(tài)變量的近似區(qū)間為[-1,1),另外還應(yīng)考慮終端狀態(tài),因此,后者的離散節(jié)點(diǎn)數(shù)比前者多2。

GPM中狀態(tài)量的導(dǎo)數(shù)可由插值多項(xiàng)式求導(dǎo)來近似,對(duì)式(6)兩邊求導(dǎo)得到:

(8)

其中，矩陣D∈RK×(K+1):

(9)

綜上所述,將動(dòng)態(tài)方程(4)轉(zhuǎn)化為如下代數(shù)約束:

(k=1,…,K)

(10)

2.2 終端狀態(tài)約束

由于最優(yōu)控制問題定義在τ∈[-1,1],而近似區(qū)間[-1,1)并沒有包含末端時(shí)刻。由動(dòng)態(tài)方程(4)可知,終端時(shí)刻時(shí)有:

(11)

對(duì)式(11)離散化并采用Gauss積分估計(jì),得到終端狀態(tài)約束:

(12)

2.3 性能指標(biāo)離散近似

考慮Bloza問題性能指標(biāo):

(13)

可將其離散近似為:

(14)

其中ωk為Gauss正交權(quán)重:

(i=1,…,K)

(15)

3 計(jì)算與仿真

文中以目前常用的幾種比例和改進(jìn)比例制導(dǎo)律與GPM方法分別進(jìn)行了對(duì)比仿真計(jì)算,采用的算法和條件如下:

3.1 仿真條件

1)初始條件

彈道傾角:θ0=-25°;彈道高度:y=7 km;初始速度:330 m/s。

2)終點(diǎn)條件

目標(biāo)距離:10 km;射向偏差:0.5 km。

3.2 比例制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

1)鉛直平面內(nèi)采用以下制導(dǎo)律進(jìn)行仿真

比例制導(dǎo)律:

計(jì)及重力比例制導(dǎo)律[10]:

彈著角約束制導(dǎo)律[9-10]:

3.3 GPM設(shè)計(jì)

1)基于GPM原理的最優(yōu)彈道方程

利用GPM原理將第1節(jié)所述問題轉(zhuǎn)化為NLP問題,可得性能指標(biāo):

(16)

動(dòng)態(tài)約束:

(17)

式中:

2)GPM約束條件

初始條件為:

[v0,θ0,ψ0,x0,y0,z0]T=

[330 m/s,-25°,0°,0 km,7 km,0 km]T

終端約束為:

[θT,xT,yT,zT]T=[90°,10 km,0 km,0.5 km]T

選取配點(diǎn)數(shù)為:N=20。

3.4 計(jì)算結(jié)果與分析

仿真計(jì)算結(jié)果如圖1～圖5所示。

圖1 無控條件下的彈道曲線

圖2 不同制導(dǎo)律和GPM彈道曲線

圖3 時(shí)間-彈道傾角曲線

圖4 時(shí)間-法向過載曲線

圖5 時(shí)間-側(cè)向過載曲線

圖1為無落角約束條件下的GPM彈道與數(shù)值積分彈道比較,從圖中可以看出,GPM彈道通過每一個(gè)LG節(jié)點(diǎn),并且與數(shù)值積分彈道幾乎完全重合。數(shù)值積分彈道計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù)大約2 000點(diǎn),GPM節(jié)點(diǎn)數(shù)僅為20點(diǎn),體現(xiàn)了GPM較少的節(jié)點(diǎn)達(dá)到較高精度的優(yōu)點(diǎn)。

圖2為采用3種制導(dǎo)律的彈道軌跡與GPM彈道軌跡的對(duì)比曲線,圖3是采用3種制導(dǎo)律的彈道傾角與GPM彈道傾角的對(duì)比曲線。從圖中可以看出,比例制導(dǎo)律和計(jì)及重力補(bǔ)償?shù)谋壤茖?dǎo)律在接近目標(biāo)時(shí)出現(xiàn)了所謂“飄飛”現(xiàn)象,其擊中目標(biāo)時(shí)的彈著角在-50°～-60°之間,無法滿足90°的設(shè)計(jì)要求。著角約束制導(dǎo)律彈著角接近90°,且彈道傾角變化呈現(xiàn)S型;而采用GPM的彈道曲線較為平滑,彈道傾角變化較為平緩且彈著角達(dá)到了90°的設(shè)計(jì)要求。

圖4和圖5分別為縱向過載和側(cè)向過載變化曲線。從圖中可以看出,在滿足彈著角90°條件下,著角約束制導(dǎo)律的縱向過載在彈道后期變化較為劇烈;而GPM的過載變化相對(duì)要平緩的多,且量值也小的多,較好的實(shí)現(xiàn)了垂直落角條件下過載最小的設(shè)計(jì)要求,體現(xiàn)了GPM方法針對(duì)鉆地炸彈最優(yōu)彈道設(shè)計(jì)的優(yōu)良特性。

4 結(jié)論

文中利用Gauss偽譜法,以實(shí)現(xiàn)精確打擊和垂直落角為最終目標(biāo),研究了使過載最小的最優(yōu)彈道設(shè)計(jì)方法,通過與數(shù)值積分的比例制導(dǎo)律計(jì)及重力比例制導(dǎo)律、以及著角約束比例制導(dǎo)律的仿真對(duì)比,得出基于偽譜原理的彈道設(shè)計(jì)可以很好的滿足性能指標(biāo)和約束條件。文中的研究還說明,Gauss偽譜法是一種處理非線性最優(yōu)控制問題的有效方法,對(duì)于彈道的軌跡優(yōu)化具有一定的研究意義。

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Nonlinear Optimal Trajectory Design of Bunker Bomb Based on Gauss Pseudospectral Method

HE Ying,YANG Xinmin,DAI Mingxiang,YI Wenjun

(National Key Laboratory of Transient Physics, NUST, Nanjing 210094, China)

Based on characteristics of large landing angle, heavy quality, and low maneuverability of bunker bomb, Gauss pseudospectral method (GPM) was used for optimal trajectory with minimum overload, satisfying both path constraints and terminal constraints. Global interpolation polynomial was used to transform nonlinear equation into discrete algebraic constraint equation so as to transform complicated nonlinear optimal control problem into nonlinear programming problem (NLP). Our numerical results show that optimal trajectory based on GPM has uniform and minimumoverload and performs better in this task, which reflects effectiveness and application potential of design.

bunker bomb; GPM; nonlinear; trajectory optimization

2015-07-14

總裝基金項(xiàng)目,校自主專項(xiàng)(2010XQTR05)資助

何穎(1987-),女,云南宣威人,博士研究生,研究方向:兵器科學(xué)與技術(shù)。

TJ765;TJ412

A