淺談導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

汪澤亮

0 引言

導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的概念之一。它的應(yīng)用范圍非常廣泛，通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的探討，可提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。本文主要是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，凹凸性以及切線問(wèn)題，同時(shí)也應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中一些邊際分析問(wèn)題。

隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展和完善，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域發(fā)揮的及其重要作用，因此，作為一位管理人員者不僅要對(duì)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)行為進(jìn)行定性分析，更重要的是還要對(duì)其進(jìn)行定量分析，以使經(jīng)營(yíng)決策更科學(xué)，更精確，從而給企業(yè)帶來(lái)良好的經(jīng)濟(jì)效益。

導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用：

1 利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性

4 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用舉例

導(dǎo)數(shù)主要是研究變化率問(wèn)題，而在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，存在許多與變化率的問(wèn)題，因此我們可以把經(jīng)濟(jì)學(xué)中的很多問(wèn)題歸結(jié)到數(shù)學(xué)中來(lái)，用我們所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)加以研究并解決。在此我們就經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析問(wèn)題加以討論。

邊際概念表示當(dāng)x的改變量？駐x趨于0時(shí)y的相應(yīng)改變量的變化，即當(dāng)x在某一給定值附近有微？駐y與？駐x的比值小變化時(shí)y的瞬時(shí)變化。若設(shè)某經(jīng)濟(jì)指標(biāo)y與影響指標(biāo)值的因素x之間成立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x），則稱導(dǎo)數(shù)f（x）為f（x）的邊際函數(shù)。隨著y，x含義不同，邊際函數(shù)的含義也不一樣。設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品q單位時(shí)所需要的總成本函數(shù)為C=C（q），則稱C（q）為邊際成本。邊際成本的經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)產(chǎn)量為q時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的總成本為C（q）。類似可定義其它概念，如邊際收入，邊際利潤(rùn)等等。經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的目的，除了考慮社會(huì)效益，對(duì)于一個(gè)具體的企業(yè)，決策者更多的是考慮經(jīng)營(yíng)的效果，怎樣降低成本，提高利潤(rùn)獲取最大的經(jīng)濟(jì)效益等問(wèn)題。

例6：設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其成本函數(shù)c（x）=ax3-bx2+cx（a，b，c>0的常數(shù)）問(wèn)每批生產(chǎn)多少個(gè)單位的產(chǎn)品，其平均成本最小？并求其最小平均成本和相應(yīng)的邊際成本。

例7：設(shè)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為：C=C（q）=100+5q-0.3q2+0.02q3，求生產(chǎn)水平為q=20（萬(wàn)件）時(shí)的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看，繼續(xù)提高產(chǎn)量是否合適？

解：當(dāng)q=20時(shí)的總成本為：C（20）=100+5×20-0.3×202+0.02×203=240（萬(wàn)元）

所以平均成本（單位成本）為：C（20）÷20=240÷20=12（元/件）邊際成本MC=C（q）=5-0.6q+0.06q2 MC|q=20=4-0.6×20+0.06×202=16（元/件）

因此，在生產(chǎn)水平為20萬(wàn)件時(shí)，每增加一個(gè)產(chǎn)品總成本增加16元，高于當(dāng)前的單位成本，從降低成本角度看，不應(yīng)該繼續(xù)提高產(chǎn)量，而應(yīng)該降低產(chǎn)量。

從上面的例子可以看出，導(dǎo)數(shù)對(duì)于在經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際問(wèn)題的分析尤為重要。通過(guò)邊際問(wèn)題的分析，對(duì)于企業(yè)的決策者做出正確的決策起了十分重要的作用！

[責(zé)任編輯：田吉捷]