導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

曹斯琪

0 引言

微積分的誕生是經(jīng)濟(jì)學(xué)史上的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)，它是“經(jīng)濟(jì)學(xué)中一步真正的發(fā)展”，是“更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)”。微積分通過靜態(tài)的逐步逼近而把握動(dòng)態(tài)、通過有限去認(rèn)識(shí)無(wú)限、利用近似去探索精確，是辯證法在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的體現(xiàn)。微積分的工具能處理經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些基本問題。如邊際分析、彈性分析、最值問題、最優(yōu)化問題、需求、收入、利潤(rùn)問等等。微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)解題中的應(yīng)用，大大推動(dòng)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，速進(jìn)經(jīng)濟(jì)中各資源的有效配置與合理的運(yùn)用，是人類經(jīng)濟(jì)文明的又一大創(chuàng)舉，是經(jīng)濟(jì)發(fā)展史上的一個(gè)里程碑。

在高速發(fā)展的經(jīng)濟(jì)建設(shè)中，現(xiàn)代化經(jīng)濟(jì)理論已經(jīng)從過去的經(jīng)濟(jì)定性分析發(fā)展成為量性分析和定性分析相結(jié)合。因而微積分在經(jīng)濟(jì)管理中有了廣泛的應(yīng)用，使得人們能從理論上分析有關(guān)的經(jīng)濟(jì)模型，從而給出合理的解釋，更好地對(duì)經(jīng)濟(jì)建設(shè)起指導(dǎo)作用。

本文主要寫導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的運(yùn)用。在邊際問題的分析、彈性分析和最值問題中，導(dǎo)數(shù)作為其重要的分析工具，得出科學(xué)合理的依據(jù)，為實(shí)際經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供科學(xué)、合理的數(shù)據(jù)。

導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用：

1 邊際分析

在經(jīng)濟(jì)分析中，通常用“平均”和“邊際”兩個(gè)概念來描述一個(gè)變量y關(guān)于另一個(gè)變量x的變化情況，而“邊際”則表示在x的某一個(gè)值的“邊緣上”y的變化情況，即當(dāng)x給定值發(fā)生微小變化時(shí)，y的變化情況，它是y的瞬時(shí)變化率，也就是變量y對(duì)變量x的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)函數(shù)f（x）就稱為邊際函數(shù)，f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值f（x）就稱為f（x）在點(diǎn)x0處的邊際函數(shù)值。

1.1 邊際成本函數(shù)

設(shè)Q為產(chǎn)量，C1為固定成本，C2（Q）為可變成本，總成本為C（Q），則C（Q）=C1+C2（Q），且稱總成本C（Q）對(duì)Q的導(dǎo)數(shù)C（Q）為邊際成本函數(shù)。其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量為Q個(gè)單位時(shí)，再增加或減少一個(gè)單位產(chǎn)量，所增加或減少的成本，從而邊際成本C（Q）的大小表明了增產(chǎn)潛力的大小。

1.2 邊際收益函數(shù)

2 最值應(yīng)用問題

在生產(chǎn)實(shí)踐和各種經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，往往會(huì)遇到求最值的問題，解決這類問題是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一。

設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，則它一定在a，b上取得最值。求函數(shù)最值的做法如下：

（i）求使f（x）=0和f（x）不存在的x值，并求出相應(yīng)于這些x的函數(shù)值；

（ii）計(jì)算端點(diǎn)函數(shù)值f（a）與f（b）；

（iii）比較f（a），f（b）和（i）中求出的函數(shù)值的大小，其中最大者就是函數(shù)在a，b上的最大值；最小者就是最小值。

特別，如連續(xù)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)只有一個(gè)極大（小）值，而又沒有極小（大）值，則此極大（小）值一定是函數(shù)f（x）在a，b上的最大（小）值。在許多實(shí)際問題中最值就屬于這種情況，可以采取求極值的方法來解決。

2.1 產(chǎn)量的最優(yōu)化與利潤(rùn)最大化的問題

在經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)過程中，要怎樣生產(chǎn)，才能充分發(fā)揮有效的資源配置來獲得最大的利潤(rùn)，這是每個(gè)企業(yè)家都想研究的問題。因而利用導(dǎo)數(shù)可以解決相應(yīng)的問題，為各企業(yè)家提供科學(xué)、合理的數(shù)據(jù)來指導(dǎo)生產(chǎn)。

例1已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為C（x）=25000+200x+x2/40元。問若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

解：先求出收益函數(shù)R（x）=500x，從而利潤(rùn)函數(shù)為：

L（x）=500x-（25000+200x+x2/40）

由L（x）=0得x=6000，因L（x）=-1/60<0，故應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品，利潤(rùn)最大。

2.2 價(jià)格的最優(yōu)化與利潤(rùn)最大化的問題

在市場(chǎng)銷售過程中，銷售和利潤(rùn)都隨價(jià)格變化。商品的價(jià)格定得稿，單位商品的利潤(rùn)大，但銷售量會(huì)減少，總利潤(rùn)卻不一定大；反之，商品價(jià)格定得低，單位商品的利潤(rùn)小，但銷售量會(huì)增大，總利潤(rùn)卻不一定少。因此，如何確定最優(yōu)價(jià)格，使得在單位時(shí)間內(nèi)能夠獲取最大利潤(rùn)是每位銷售管理人員值得關(guān)注的。

例2假設(shè)某種商品的需求量y是單價(jià)x（單位：元）的函數(shù)：y（x）=1200-80x；商品的總成本C是需求量y的函數(shù)：C（y）=25000+50y；每單位商品需要納稅2元，試求使銷售利潤(rùn)最大的商品單價(jià)和最大利潤(rùn)額？

解：以L表示銷售利潤(rùn)額，由y（x）=1200-80x得到：

L=（1200-80x）（x-2）-（25000+50y）=-80x2+16160x-16160

L（x）=-160x+16160

令L（x）得到x=101。又因?yàn)長(zhǎng)（x）|x=101=-160<0

故當(dāng)x=101時(shí)，L（x）有極大值，因x=101是唯一駐點(diǎn)，所以L（x）有最大值，即最大利潤(rùn)為L(zhǎng)（x）|x=101=167080元。

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