柱面坐標計算三重積分的教學建議

張化朋

【摘 要】利用柱面坐標可以很方便地計算某些三重積分，但是這些積分也可以結合三重積分的直角坐標法與二重積分的極坐標法來計算。因此，從節省課時和減輕學生負擔的角度來說，教師不必在教學中介紹利用柱面坐標計算三重積分這仲方法。

【關鍵詞】三重積分；柱面坐標；教學建議

【Abstract】It is very convenient to calculate some triple integrals via cylindrical coordinates， but these triple integrals can be also calculated by combining rectangular coordinates with polar coordinates. Therefore，from the perspective of saving class hours and relieving studentsburden，it is not needed to introduce the method of calculating triple integral via cylindrical coordinates while teaching.

【Key words】Triple integral；Cylindrical coordinates；Teaching suggestion

高等數學是高等院校理工科專業必修的且最重要的基礎課程之一，也是培養學生能力和提高學生素質的一門重要學科。它不但為學生學習后續數學課、專業基礎課以及專業課提供必要的數學知識和方法，而且更重要的是通過高等數學學習來訓練學生的數學思維能力，提高學生的數學修養，為從事所學專業工作和進行深入的科學研究打下堅實的數學基礎。

但是，隨著高等教育大眾化的進一步深入，學生的整體素質呈現不斷下降的趨勢，尤其是學生的數學水平參差不齊，再加上個人對數學學習興趣的差異以及學風的日益不佳，導致了大量的學生考試成績不及格。

另一方面，各大高校都熱衷于增加大量的綜合素質課程，從而導致了高等數學課程課時的不斷壓縮，但是教學內容并未減少。這樣就更加劇了學生學習高等數學的難度。因此，在日常的教學中，教師應當盡量減少可以減少的教學內容。

重積分的計算是高等數學學習中的難點之一。重積分一般包括二重積分和三重積分。二重積分的常用計算方法有直角坐標法和極坐標法。直角坐標法適合積分區域為X-型的或者Y-型的，它將一個二重積分轉化為先對y后對x或者先對x后對y的兩次定積分。極坐標法適合積分區域與圓有關的二重積分，它將一個二重積分轉化為先對極徑后對極角的兩次定積分。

計算三重積分的常用方法有直角坐標法、柱面坐標法和球面坐標法（參見文獻[1-2]）。根據積分區域的特點選擇合適的坐標法是計算三重積分的關鍵。球面坐標法適合積分區域與球面有關的三重積分。直角坐標法把三重積分轉化為先定積分后二重積分（又叫“先一后二”法、投影法）或先二重積分后定積分（又叫“先二后一”法、截面法）。無論是投影法還是截面法，都要計算一個二重積分，而柱面坐標法的本質是將其中的二重積分用極坐標來計算。

上式顯然與直接用極坐標計算對x，y的二重積分得到的形式一樣。

從上面的兩個例子可以看出，只要學生掌握了三重積分的直角坐標法與二重積分的極坐標法，三重積分的柱面坐標法完全可以不必學習。因此，從節省課時和減輕學生負擔的角度來說，教師不必在教學中介紹利用柱面坐標計算三重積分這仲方法。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]趙洪牛，萬彩云，胡國雷，王友國.高等數學（下）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[責任編輯：田吉捷]