研究應用換元法培養創新思維

江蘇省揚州市廣陵區頭橋中學(225109)

黃 慧●

?

研究應用換元法培養創新思維

江蘇省揚州市廣陵區頭橋中學(225109)

黃 慧●

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法.我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，把它簡化，使問題易于解決.本文應用換元法解因式，解方程，解證明題三個方面舉例說明，供參考.

換元法；高次方程；無理方程；實數根

利用換元法解題，具有極大的靈活性.關鍵在于根據問題的結構特征，恰當地引入輔助未知數，達到以簡馭繁，化難為易的目的.在具體應用時，換元的具體形式也是多種多樣的.要在解題的實踐中，不斷摸索規律，積累經驗，掌握有關的變換技巧，提高運用換元法解題的能力.

下面舉例說明換元法在初中數學中應用.

一、用換元法分解因式

例1 把(x-4)(x-2)(x-1)(x+1)-72分解因式.

本題如果把括號、合并同類項以后，會得到關于x的四次式，分解起來比較困難.認真觀察題目的結構，可以發現(x-4)(x+1)=x2-3x-4,(x-2)(x-1)=x2-3x+2,它們的二次項、一次項完全相同，這就具備了換元的條件，選用換元法進行降次處理，就使得分解變得簡單易行.在設輔助未知數時，方法比較靈活，如可設y=x2-3x,或設y=x2-3x-4等，一般地，設y等于x2-3x-4和x2-3x+2的算術平均式比較簡捷.

解 (x-4)(x-2)(x-1)(x+1)-72=(x2-3x-4)(x2-3x+2)-72

設y=x2-3x-1，則x2-3x-4=y-3,x2-3x+2=y+3

原式=(y-3)(y+3)-72=y2-9-72=(y+9)(y-9)=(x2-3x+8)(x2-3x-10)=(x2-3x+8)(x-5)(x+2)

總結提示 當在一個多項式中出現相同的部分時，一般可采用換元法來解決問題.

二、換元法在解方程中作用

掌握運用換元法解方程和方程組是初中數學的一個重點要求而在解高次方程、分式方程、無理方程時，要注意方程的特點創造運用換元法的條件往往會簡化求解過程.

例2 解下列方程：①(2x2-3)2+6=4x2

解 原方程變形為(2x2-3)2-2(2x2-3)=0.

設y=2x2-3,原方程形變為y2-2y=0.

解這個方程，得y1=0,y2=2.

所以原方程有四個根：

三、證明題利用換元法十分簡捷

例3 試證明關于x的方程(x-a)(x-a-b)=1的根一個比a大，一個比a小.

分析 本題的一般證明方法是求出兩個實數根，再證明有一根大于a，另一根小于a.認真觀察題目的結構，可以變形為(x-a)2-b(x-a)-1=0,可以實施換元.即要證一根比a大，一根比a小，可以轉化為證明(x-a)(x2-a)<0.本題還可以借助于函數思想，利用換元法得到十分簡捷的證明.

證法一 設x-a=y,原方程變形為y2-by-1=0 ①

Δ=(-b)2-4(-1)=b2+4>0,

∴方程①有兩個不相等的實數根y1,y2.

由根與系數的關系，得y1·y2=-1<0,即(x1-a)(x2-a)<0.

∴原方程中一個根大于a，一個小于a.

證法二 設y=(x-a)(x-a-b)-1,即y=(x-a)2-b(x-a)-1.把y看作是關于x的二次函數.

當x=a時，y=-1<0.

∵y=(x-a)2-b(x-a)-1的圖象開口向上∴圖象與x軸的交點一個在x=a的左邊，一個在x=a的右邊∴(x-a)(x-a-b)=1的根一個大于a，一個小于a.

G632

B

1008-0333(2016)21-0033-01