構造幾何圖形，巧解數學問題

江蘇省射陽縣第六中學(224300)

陳廣州●

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構造幾何圖形，巧解數學問題

江蘇省射陽縣第六中學(224300)

陳廣州●

數學問題的解決有賴于數學方法的運用，一個好的數學方法可以幫助我們更快更順利的解決問題.我們常見的數學方法有代數、算術等.圖形可以直觀地展示問題，因此，通過幾何圖形來解題，是不錯的切入點，在很大程度上可以簡化解題步驟.基于此，我將通過實例，探討如何使用圖形解決數學問題.

一、巧解角的度數問題

例1 在同一平面內，若∠AOB=70°,∠BOC=15°，求∠AOC的度數.

解析 下面是一位同學的解題過程，我們來看看是否正確.∠AOC=∠AOB-∠BOC=70°-15°=55°，則∠AOC=55°.答案正確，但用上述方法解題時造成了丟解的情形，此時圖形法的優勢顯現了出來.

我們可以畫出各個角的相對位置，那么在畫圖的時候我們會發現，會有兩種情況，如圖所示，第二種情況就是∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+15°=85°，則∠AOC=85°.

對于忽略第二種答案的思維定勢，通過圖形的構造打開了思維，得到問題的最終答案.圖形法在解題的同時提供給學生一個新的思考方式，可以激發學生的探索興趣.

二、巧證不等式問題

例2 已知六個正數A、B、C、a、b、c滿足A+a=B+b=C+c=K,求證：aB+bC+cA

解析 如果只用代數或者算術知識很難解出此問題，但是我們可以根據題中的條件構造出一個邊長為K的正三角形，然后再根據三角形的面積等關系解決此問題.設△DEF是一個邊長為K的等邊三角形，GHI各頂點分別為DE，EF，FD上的點，且DG=A，GE=a，EH=B，HF=b,FI=C，ID=c，如圖所示.

題中所給的等式條件與等邊三角形的三邊正好符合，三角形的圖形構建就隨之而來，再運用面積關系求解，這種構造圖形的思路正是解此類題目的精髓所在.

三、巧解比賽問題

例3 五人進行羽毛球單打比賽，已知A比賽4場，B比賽3場，C比賽2場，D比賽1場，那么E比賽幾場？

解析 此題憑借列式求解會相當繁瑣，但只要我們換個角度，將文字描述轉化為二維圖形，便可輕松求解.

如圖所示只要我們畫出這個圖形，以平面內任意三點之間的連線來表示一場比賽，那么此圖就是我們所求問題的解.

此題中構造圖形方法的神奇之處在于并沒有列式計算就得出了答案，在化繁為簡的同時開拓學生的思維，提高解題效率.

四、巧解人數問題

例4 某班有50個人，會體操的有18人，會游泳的有27人，游泳體操都不會的有15人，那么即會體操又會游泳的有多少人.

解析 這是數學問題在實際生活中的應用，并不是所有的數學問題都需要代數運算，正如本文介紹的那樣，巧妙的構造圖形可以讓計算更簡便，思路更清晰.

畫出三個圓圈，分別代表本班的全部人數，會游泳的人數和會體操的人數.這也是韋恩圖的正確使用方法.游泳體操都不會的有15人，那么至少會一項運動的有35人，則由圖可知兩項都會的有27+18-35=10人.

本題本身沒有幾何圖形，但是我們可以通過觀察，從數形結合的角度出發，構造出一個圖形，使題中已知的數量關系在圖形上得到完美體現，用圖形關系解題.

有些數學問題并不是非要用代數方法來解決的，通過轉換思路，改變思維，在平面幾何的領域構造出圖形，在鍛煉學生的創造力與想象力的同時加深對數量關系的理解，簡化運算過程，讓難以解決的問題峰回路轉.

G632

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1008-0333(2016)23-0009-01