《最短路徑問題》的反思及應(yīng)用

甘肅省環(huán)縣第四中學(xué)(745700)

賈學(xué)粉●

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《最短路徑問題》的反思及應(yīng)用

甘肅省環(huán)縣第四中學(xué)(745700)

賈學(xué)粉●

我們知道，有效地開發(fā)和利用課本，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)具有重要的意義.學(xué)生對(duì)于課本上例題或習(xí)題能否吃透,直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.因此教師要引導(dǎo)學(xué)生挖掘教材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，從中領(lǐng)悟問題解決過程的數(shù)學(xué)內(nèi)涵.

人教版(2013)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)13.4課題學(xué)習(xí)《最短路徑問題》中有這樣一個(gè)問題：

如圖1所示，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬,可使所走的路徑最短?

分析 我們把河邊近似看做一條直線l(如圖2)，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么,上面的問題可以轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點(diǎn)P在直線l的什么位置時(shí),AP與PB的和最小.

如圖3所示，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是牧馬人到河邊飲馬的位置.事實(shí)上，點(diǎn)B′與點(diǎn)A的線段AB′最短，由對(duì)稱性質(zhì)知，PB=PB′，因?yàn)镻A+PB=PA+PB′=AB′，即點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離之和最小.

上述路徑問題，是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離，基本思路是運(yùn)用軸對(duì)稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng).從解題過程不難看出，本題蘊(yùn)含著三個(gè)數(shù)學(xué)思想方法:數(shù)學(xué)模型思想,轉(zhuǎn)化思想，對(duì)稱思想.如果學(xué)生一旦認(rèn)識(shí)或明白這些思想方法,就能舉一反三，再復(fù)雜的問題也會(huì)迎刃而解.

一、基本應(yīng)用

如圖4，點(diǎn)O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合，若BC=3，則折痕CE的長(zhǎng)為多少？

二、拓展應(yīng)用

如圖5兩條公路BA、BC相交于點(diǎn)B，在兩條公路之間的P點(diǎn)有一個(gè)油庫，若要在公路BA、BC上各設(shè)置一個(gè)加油站Q和R，設(shè)置在何處，可使油車從油庫出發(fā)經(jīng)過一個(gè)加油站Q(或R)，再到另一個(gè)加油站R(或Q)，最后回到油庫所走的路程最短，即PQ+QR+RP最小.

分析 要比較封閉曲線間的長(zhǎng)度大小是有些困難的，我們?nèi)匀焕幂S對(duì)稱的方法，找到P關(guān)于BA、BC的對(duì)稱點(diǎn)P′、P＂,連接P′P＂，由對(duì)稱性易知：PQ=P′Q，PR=P＂R,此時(shí)PQ+QR+RP=P′Q+RQ+P＂R，欲使PQ+QR+RP最小，應(yīng)在P′P＂上取Q，R點(diǎn)為P′P＂分別與AB、CB的交點(diǎn)，此時(shí)PQR的周長(zhǎng)最小.

三、靈活運(yùn)用

如圖6，一只螞蟻欲從圓柱形的桶外點(diǎn)A爬到桶內(nèi)點(diǎn)B去尋找食物，已知點(diǎn)A到桶口的距離AC為12cm，點(diǎn)B到桶口的距離BD為8cm，CD弧長(zhǎng)為15cm，若螞蟻爬行的是最短路線，應(yīng)該怎樣走？

分析 將圓柱側(cè)面展開得如圖7，這樣所求問題可化為在CD上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小，因此，作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交CD于點(diǎn)P，線段AB′就是最短的路線長(zhǎng)，即螞蟻應(yīng)該沿AP到PB的路線走最短.過B′作B′E⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E，則AE=20cm，B′E=15cm，根據(jù)勾股定理得AB′=25.故螞蟻爬行的最短路線為25cm.

本題將該模型思想遷移到空間幾何問題中運(yùn)用，其解決問題的基本思路是“化曲為平”，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來思考.

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