數形結合思想在波的干涉問題分析中的應用

許冬保● 朱文惠●

江西省九江市廬山區第一中學(332000) 江西省九江市第一中學( 332000)

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數形結合思想在波的干涉問題分析中的應用

許冬保● 朱文惠●

江西省九江市廬山區第一中學(332000) 江西省九江市第一中學( 332000)

《考試大綱》關于波的干涉的要求較低，只要求了解或知道．但是高考命題已超越了考綱的約定，定量計算的問題頻頻出現，本文以波的干涉圖樣為載體，依據數形結合思想，以數解形，以形助數，從而有效解決波的干涉問題．

波的干涉；干涉圖樣；數形結合；以數解形；以形助數

機械波的干涉(以下簡稱波的干涉)在《考試大綱》中的要求是，知道其內容及含義，并能在有關問題中識別和直接使用．然而，在高考命題中，波的干涉的考查，其要求遠遠超越考綱的約定．關于干涉的定量計算也時常出現在試題中．本文依據數形結合思想，例談突破波的干涉問題的有效策略．

一、數形結合，深層理解干涉圖樣

數形結合思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，其關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使幾何問題代數化，代數問題幾何化．包含以數解形和以形助數兩個方面．

波的干涉是指，頻率相同的兩列波疊加時，某些區域的振幅加大，某些區域的振幅減小．這種現象叫做波的干涉．形成的圖樣叫做干涉圖樣．

二、以數解形，準確繪制干涉圖樣

產生穩定的干涉現象必須滿足一定的條件，那就是：兩個波源必須是頻率相同、相位差恒定、振動方向相同．這樣的波源叫做相干波源，這個條件稱為相干條件，它們所發出的波叫做相干波．只有兩相干波疊加時，才能得到穩定的干涉圖樣．由圖1可知，干涉圖樣對兩波源連線及中垂線均呈現幾何對稱性．那么，如何繪制波的干涉圖樣？依據數形結合思想，以數解形，以定量分析為前提，可方便繪制波的干涉圖樣．繪圖時，關鍵在于確定兩波源連線上共有幾處振動加強點或振動減弱點，亦即兩波源之間分布多少個波長(整數倍)或多少個半波長(奇數倍)．而兩波源連線之中點，對于兩個同相波源，一定是振動加強點(反相波源，則為振動減弱點)．畫干涉圖樣時，只需要畫出連線中點至某一波源之間的雙曲線，再根據對稱性完成另一半雙曲線即可．梳理繪制波的干涉圖樣的思維過程，形成如圖2所示的思維導圖．

三、以形助數，有效解決干涉問題

如何根據干涉圖樣解決有關干涉的問題呢？依據數形結合思想，以形助數，以干涉圖樣為載體，確定雙曲線的分布條數(即上文中n的取值)，可以定性甚至定量解決有關問題．

1．波源連線上干涉加強或減弱區次數的確定

例1 (2013年全國大綱卷理綜試題)在學校運動場上50m直跑道的兩端，分別安裝了由同一信號發生器帶動的兩個相同的揚聲器．兩個揚聲器連續發出波長為5m的聲波．一同學從該跑道的中點出發，向某一端點緩慢行進10m．在此過程中，他聽到的揚聲器聲音由強變弱的次數為( ).

A．2 B．4 C．6 D．8

分析 兩個相同的揚聲器發出的聲波為相干波，在空間疊加，產生穩定的干涉現象．在跑道中點位置，波程差為零，n=0；某同學向某一端點(向左或向右)行進10m，波程差等于20m，恰為4個波長，即離中點沿波源連線行進10m處為振動加強點，且n=4．由此可知其間還有對應n=1、n=2及n=3的位置．圖3為聲波干涉圖樣(示意圖)，由圖3可知，某同學總共能聽到4次揚聲器聲音由強變弱．正確選項為B．

點評 傳統解法是通過計算波程差得到答案．設該同學在某點處，聽到加強音，該點到連線中點之距離為x，則波程差Δ=2x=nλ，式中為 整數．顯然，某同學向任一端點緩慢行進10m，含跑道中點，則對應的x值分別為0、2.5m、5.0m、7.5m、10m．可見，數形結合，以數解形，以形助數，較傳統解法，形象直觀、簡潔明了．

2．波源連線垂直方向上干涉加強或減弱區次數的確定

例2 如圖4所示，MN為水池的邊緣，S1、S2是池中水面上兩個振動情況完全相同的波源，它們激起的水波波長為2m，S1、S2連線垂直于MN，且與MN分別相距8m和3m，設MN足夠長，則在MN上水面是平靜的位置數為( ).

A．1處 B．3處 C．5處 D．無數多處

分析 考查波源S2，波程差為5m，為波長的2.5倍，取n=2，而兩波源連線中點，波程差為0，n=0．于是，可以粗略畫出圖5所示的水波的干涉圖樣．注意到振動加強與振動減弱區域相互間隔，在MN上的P0點為減弱區，可認為雙曲線退化為直線的特殊情形．由圖可知，在MN上水面平靜的處數為5，選項C正確．

點評 傳統解法過程如下，如圖6所示，水面上平靜處的波程差應為半波長的奇數倍，在MN上任取一點P(或 )，連接PS1，PS2，由幾何知識可知PS1-PS2≤S1S2=5m，所以(PS1-PS2)可以取1m、3m或5m．取5m時即對應圖中的P0點，取1m、3m時，左、右可分別取對稱點，考察MN連線，共有5處水面是平靜的．可見根據干涉圖樣的直觀性分析，極大地簡化了解題過程，提高了思維品質．

3．波源連線外圓周上干涉加強或減弱區次數的確定

例3 如圖7所示，廣場上有一個半徑為45m的圓，AB是直徑，在圓心O點和A點處分別安裝兩個有相同聲源的揚聲器，它們發出的聲波的波長是10m，有一人站在B處幾乎聽不到聲音，他沿著圓周逆時針向A走，在走到A之前，他還有幾處幾乎聽不到聲音？

分析 考察圓心O點，波程差為波長的4.5倍，取n=4，畫出AO之間聲波的干涉圖樣，圖中虛線為干涉減弱區域，如圖8所示(圖中數字與振動加強區相對應)．觀察干涉圖樣與圓周的交點可知，人沿著圓周逆時針向A走，在走到A之前，共有8處幾乎聽不到聲音．

4．波源連線上干涉加強或減弱區位置坐標的確定

例4 波源S1和S2振動方向相同，頻率均為4Hz，分別置于均勻介質中x軸上的O、A兩點處，OA=2m，如圖9所示．兩波源產生的簡諧橫波沿 軸相向傳播，波速為4m/s．己知兩波源振動的初始相位相同．求OA間合振動振幅最小的點的位置．

由于OA=2m，恰為波長的2倍．由此畫出圖10所示的波的干涉圖樣(圖中數字與振動加強區相對應)，在O、A兩點之間振動加強與振動減弱區域的分布是均勻的，由對稱性可以得到，OA間合振動振幅最小的點的位置分別為x=0.25m，0.75m，1.25m，1.75m．

綜上，以波的干涉圖樣為載體求解波的干涉問題，能有效地提高思維的品質，促進形象思維與抽象思維的融合，利于推理能力及分析綜合能力的提高．

[1]陳志風．滲透的思想，孕育的是策略．數學教學通迅(初等教育)[J]． 2013：35-37．

[2]人民教育出版社．普通高中課程標準實驗教科書，物理選修3-4 [M]．北京：人民教育出版社，2010：33-35．

[3]沈克琦．高中物理①(力學)[M]．安徽：中國科學技術大學出版社，2015：215.

G632

B

1008-0333(2016)28-0056-02

中國教育學會物理教學專業委員會2013年-2016年全國物理教育科研重點課題：習題教學與物理科學方法教育的研究．