一個(gè)二次曲線定理的再推廣

朱 晶●

江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)(212017)

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一個(gè)二次曲線定理的再推廣

朱 晶●

江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)(212017)

在綜合二次曲線的兩個(gè)關(guān)于直線恒過(guò)定點(diǎn)的結(jié)論之后，將其進(jìn)一步推廣，得到更一般的結(jié)論.

二次曲線;定點(diǎn);定值;斜率

文[1]給出了二次曲線的一個(gè)定理如下：

文[2]通過(guò)對(duì)圓的一個(gè)常見(jiàn)結(jié)論進(jìn)行推廣，得到如下

受文[1]、文[2]的啟發(fā)，筆者想到：文[1]中的“PM⊥PN”，就是文[2]中的“C=-1”，如果將文[1]中的“PM⊥PN”改為“kPM·kPN=t(t為常數(shù))”，直線MN是否恒過(guò)定點(diǎn)？通過(guò)研究，得到一個(gè)肯定的結(jié)果.

把②代入①,則二次曲線Γ在新系x′Py′中的方程為：A(x′+x0)2+B(y′+y0)2+C(x′+x0)+D(y′+y0)+E=0,

整理得Ax′2+By′2+(2Ax0+C)x′+(2By0+D)y′=0 ③.

設(shè)MN在新系x′Py′中的方程為mx′+ny′=1，代入③得Ax′2+By′2+[(2Ax0+C)x′+(2By0+D)y′](mx′+ny′)=0.

整理得： [A+(2Ax0+C)m]x′2+[B+(2By0+D)n]y′2+[(2Ax0+C)n+(2By0+D)m]x′y′=0.

(1)當(dāng)A=tB時(shí)，則由⑤得(2Ax0+C)m=(2By0+D)nt.

2.定理的三個(gè)推論

[1]沈新權(quán).二次曲線內(nèi)接直角三角形斜邊過(guò)定點(diǎn)的一個(gè)統(tǒng)一結(jié)論及推廣[J].數(shù)學(xué)通訊，2010(1).

[2]徐道.一個(gè)平面幾何結(jié)論的解析推廣[J]. 中學(xué)生數(shù)學(xué)(高中版)，2010(11).

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1008-0333(2016)28-0033-01