利用導數證明不等式的常見題型與解法研究

江 浩●

江蘇省沭陽如東中學(223600)

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利用導數證明不等式的常見題型與解法研究

江 浩●

江蘇省沭陽如東中學(223600)

題型一 證明f(x)

例1 (2016年全國卷Ⅱ第21題改編)證明：當x>0時，(x-2)ex>-x-2.

證明 令f(x)=(x-2)ex+x+2，則f′(x)=(x-1)ex+1.記φ(x)=f′(x)，則φ′(x)=xex>0，即f′(x)在(0,+∞)上遞增，所以f′(x)>f′(0)=0，可見f(x)在(0,+∞)上遞增，所以f(x)=(x-2)ex+x+2>f(0)=0，故原不等式得證.

題型二 證明ψ(x1,x2)>α

例3 (2016年全國卷Ⅰ第21題)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍；(答案：a>0)

(Ⅱ)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

證明 通過對(Ⅰ)的求解，可知當a>0時，f(x)在(-∞,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增.不妨設x1f(2-x2)，只要證明f(2-x2)<0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2，f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0，所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex，則g′(x)=(x-1)(e2-x-ex).當x>1時，g′(x)<0，而g(1)=0，故當x>1時，g(x)<0，故x1+x2<2得證.

例4 (2014年南京三模)已知函數f(x)=lnx-mx有兩個不同的零點x1,x2，求證：x1x2>e2.

證明 不妨設x1>x2>0，則f(x1)=lnx1-mx1=0，f(x2)=lnx2-mx2=0.

題型三 證明φ(x,α)>α

對于證明φ(x,α)>α類型問題，可以采用更換主元的方法使問題變得簡單易解.此類問題還有如：已知1≤ylnx-lny，也可以采用這種方法求解；當然也可以先利用導數求f(x)=φ(x,α)的最小值，然后進行適當放縮達到目的.

G632

B

1008-0333(2016)28-0034-01