從一道高考題談橢圓中點弦問題的處理策略

羅文軍●

甘肅省秦安縣第二中學(741600)

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從一道高考題談橢圓中點弦問題的處理策略

羅文軍●

甘肅省秦安縣第二中學(741600)

2015全國數學高考新課標Ⅱ卷理科第20題是一道橢圓的中點弦問題，該題考查了橢圓的幾何性質以及直線與橢圓的位置關系，也較全面地考查了學生掌握基礎知識與基本方法的程度，入手容易，但是要想完整解法，需要考生具備扎實的基礎知識和較強的分析解決問題的能力，梯度性較強.筆者對該題進行了探究和推廣，現介紹如下，以饗讀者.

一、真題再現

2015年全國高考新課標Ⅱ卷理科第20題：已知橢圓C：9x2+y2=m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.

(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

二、解法探究

該試題第(1)問是橢圓中點弦的定值問題，筆者對第(1)問的解法進行了探究，給出了四種解法，并且從相應解法出發，總結出了處理橢圓中點弦問題的四種策略.

解法1 設直線l：y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

將y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2，故

即kOM·k=-9，

所以OM直線的斜率與l的斜率的乘積為定值.

點評1 將直線方程代入橢圓的方程，消元后得到一個一元二次方程，利用韋達定理和中點坐標公式建立等式求解.

點評2 點差法，若直線l與橢圓C有兩個交點A、B,設出A(x1,y1)、B(x2,y2),代入橢圓方程，通過作差，構造出x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2，從而建立中點坐標和斜率的關系.點差法是解決橢圓的中點弦問題的一種常用方法，本解法達到“設而不求”的目的，同時，還可以降低解題的運算量，優化解題過程.

解法3 設A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0),

由題設可知x1≠x2且y1≠y2且x0≠0且y0≠0.

點評3 參數方程法，若直線l與橢圓C有兩個交點A、B，設出直線l的參數方程，將參數方程代入橢圓C方程得到一個關于t的一元二次方程，再根據參數的幾何意義t1+t2=0化簡.

筆者通過對該題進行探究，得出了兩個結論，并利用兩個結論，簡解兩道歷年高考真題.

三、拓展推廣與應用

同理可證以下結論2

G632

B

1008-0333(2016)28-0029-02