一道高考圓錐曲線試題的推廣及拓展

黃旭東●

湖北省黃石市第一中學(435000)

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一道高考圓錐曲線試題的推廣及拓展

黃旭東●

湖北省黃石市第一中學(435000)

一、試題還原與分析

(Ⅰ)求橢圓C的方程，并求點M的坐標(用m，n表示)；(Ⅱ)設O為原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N．問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由．

二、推廣與拓展

由于橢圓有四個頂點，若點P為長軸上一頂點，是否有類似結論呢？經推證，猜想成立.于是縱向推廣得到如下定理2.

同為有心曲線，此結論在雙曲線上是否成立呢？能否橫向推廣？經推證，結論成立，同時得到一個意外的結論，即得定理3.

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經驗證，若將P改為虛軸端點，結論不成立.通過上述推廣與拓展，得到了一些優美而有趣的結論，從而從側面論證了數學也是一種講究美的學科，這正是數學所具有的獨特的魅力所在！

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1008-0333(2016)28-0023-02