用好平行線巧解高考題

楊偉達●

廣州市花都區第二中學(510800)

?

用好平行線巧解高考題

楊偉達●

廣州市花都區第二中學(510800)

眾所周知，平行線和垂線一樣都是處理幾何問題的常用方法之一．在高中數學中，筆者發現若能恰當用好平行線(平移直線)對快速解題起到事半功倍的效果．下面筆者對距離、斜率、參數、截距等問題運用平行線(平移直線)進行析疑解惑，突顯平行線的魅力，煥發新的活力．

一、用好平行線解決有關距離問題

有這樣的數學問題，用傳統的代數方法處理運算復雜、抽象、無從下手；若用極端思想處理，化抽象為具體，化整體為局部，化參量為常量，通過對“特殊”的思考，達到對“一般”的解決.比如用幾何法作平行線，利用平移直線，達到對極端的解決，運算簡便、快捷.

∴切點坐標為P(ln2,1)

例2 (2015·全國卷理數16)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是____.

分析 此題用傳統方法處理，作輔助線把四邊形分為兩個三角形，設未知量，用正弦定理求解，運算復雜，學生只能望而止步；若采用極端思想處理，化參數為常量，通過對“特殊”的思考，達到對“一般”的解決.本題通過平移AD，就會變為兩個特殊的三角形，用正弦定理可求得AB的極端值.

解 如圖2所示，動態審視(1)四邊形ABCD，保持BC=2及∠B=∠C=75°固定，延長BA，CD交于E，平移AD，此時當A與D重合于E點時，AB最長在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2.

動態審視(2)四邊形ABCD，保持BC=2及∠A=∠B=75°固定，平移AD，當D與C重合時，此時與AB交于F，AB最短在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°.

二、用好平行線解決有關斜率問題

有一些數學題，題目的已知條件出現了線段長度的比例關系，若直接用代數求解，涉及未知量多，運算復雜、易錯；不妨作平行線，利用平行線的性質，巧妙轉化線段比，運算簡便、快捷.

例3 (2013·全國卷Ⅱ)設拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．若|AF|=3|BF|，則l的斜率為( ).

三、用好平行線解決有關參數問題

有一些數學題，題目已知條件出現了圖形，這時需觀察圖形，找出圖形的特征，根據圖形的特點思考，選擇適當的方法嘗試解題，最后將問題最優化. 其中作平行線(平移直線)，巧妙轉化量的關系，運算簡便、快捷，起到意想不到的效果.

分析 對于這樣的一個圖，許多人自然會想到建立坐標系，利用向量的坐標運算及平面向量基本定理求解；若細心觀察、發現圖形中a是小正方形兩端點的對角線，且c端點及b的中點都在小正方形的端點上，平移向量a即可構成一個三角形，利用向量的三角形法則可得c=λa+μb(λ,μ∈R)．

分析 此題的關鍵在于首先畫出平面區域，其中直線x+y=a表斜率為-1的平行直線．觀察、發現、標出圖形的特征點A及點B，根據題目的已知條件，平移直線，直到問題解決．

四、用好平行線解決有關截距問題

在歷年的高考題中，線性規劃問題幾乎年年出現，其中不乏有“定k(斜率)求b(截距)”的類型．解決此截距問題關鍵在于：平移直線，過特殊點求最值．

分析 像這種“定k求d”類型的題目先要知道目標函數表示什么，若表示為定斜率求最值，則最值通常在區域端點或邊界取得．其關鍵是：平移直線得到區域內端點．

總之，在一些高考題中，若能恰當用好平行線(平移直線)，再運用平行線的性質，對一些數學題進行特殊思考和求解，從而起到事半功倍的效果，彰顯了平行線是靈丹妙藥．

G632

B

1008-0333(2016)28-0016-02