巧用“1”解不等式

黃亦達●

湖北省武漢二中(430071)

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巧用“1”解不等式

黃亦達●

湖北省武漢二中(430071)

高中數學不等式具有較多的知識難點，學生在學習過程中，會遇到各種題型，有時會面臨無從下手的困難，筆者在學習不等式過程中，通過分析和歸納，對部分基本不等式的題型解答和訓練進行系統編輯，以供參考.

中學數學；不等式

不等式在數學研究和數學應用中起著重要作用，高中數學大綱要求會用基本不等式解決簡單的不等式問題.由于基本不等式既具有定性功能，又具有定理功能，還具有工具性的作用，應用面非常廣泛，涉及高中數學各分支內容，因此在每年高考試卷中出現頻率特高，可以說是每年高考的必考點.但是同學們利用基本不等式解題時，對部分題型已知條件中出現“1”情況如何進行代換，應用上還存在困惑.本文結合常見問題進行了分析和解答，希望能幫助同學們理解和掌握相關的知識.

分析 為對(x+y)配式，根據“1”乘以任何一個式子大小不變，可將“1”整體代換，從而湊出定積的條件.

當且僅當y2a=x2b時取等號.

針對練習 已知a>0,b>0,c>0，且a+b+c=1.

分析 為對左式進行變換，可將各分式的分子中的1用a+b+c來代換.

證明 ∵a>0,b>0,c>0，且a+b+c=1.

根據不等式性質，得

分析 為了挖掘出定積的情況，根據“1”乘以任何一個式子大小不變，利用代換法，變換所求式子，可得到定積條件.

解答：∵a>0,b>0，且a+2b=1,

例3 已知a>0,b>0,c>0，且abc=1.求證：(a+1)(b+1)(c+1)≥8.

分析 左邊是3個因式的乘積，右邊是數字，結合已知條件abc=1，如果能將左邊轉化為abc的乘積，根據1的n次方仍是1，問題就能解決.

∵abc=1.∴(a+1)(b+1)(c+1)≥8.

當且僅當a=b=c=1時等號成立.

[1]《普通高中課程標準實驗教科書(數學)》

[2]汪江松.重難點手冊[M],華中師范大學出版社.

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1008-0333(2016)28-0012-01