淺析“錯位相減法”在高中數學數列中的應用

楊天潼●

湖南省長沙市雅禮中學(410000)

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淺析“錯位相減法”在高中數學數列中的應用

楊天潼●

湖南省長沙市雅禮中學(410000)

數列是高中數學學習中非常重要的一部分，也是高考經常考查的知識點之一.“錯位相減法”是推導等差乘等比數列前n項和最主要的方法，我們應學會并掌握它們的有關性質、通項公式和求和公式等來解決學習中遇到的該類問題，這可以有效地提高同學們的數學成績.本文就錯位相減法在高中數學數列中的應用進行了分析與總結，希望有助于加深同學們對錯位相減法的理解和在實際解題過程中的應用.

錯位相減法；高中數學；數列

“錯位相減法”是高中數學中常用的解決數列問題的方法之一，教師在介紹這類方法時通常以{an·bn}(其中an是等差數列，bn是等比數列)的例子來進行解析，而同學們平常考試中出現的題目一般是經變形的復雜題型，這就需要我們根據實際情況，靈活運用“錯位相減法”對題目進行解析.本文就針對平時出現的幾種題型，分析了“錯位相減法”在數列題型解析中的實際應用.

題型一 求數列{anbn}的前n項和σn，an是以d為公差的等差數列；bn是以q(q≠1)為公比的等比數列.

該題型是老師在教授“錯位相減法”過程中最常采用的類型，應用最簡單的錯位相減，經化簡后即可得到相應結果.其中，σn=a1b1+a2b2+…+anbn,

則qσn=qa1b1+qa2b2+…+qanbn=a1b2+a2b3+…+anbn+1.

兩式錯位相減得:(1-q)σn=a1b1+d(b2+…+bn)-anbn+1，所以σn=(a1b1-anbnq)/(1-q)+dq(b1-bn)/(1-q)2.

題型二 求數列{anTn}的前n項和σn，an是以d為公差的等差數列,其前n項和為Sn，Tn是以q(q≠1)為公比的等比數列bn的前n項和．

該類題型分為兩種情況，當an為1時，則

σn′=T1+T2+…+Tn=b1+(b1+b2)+…+(b1+b2+…+bn),所以qσ′n=qT1+qT2+…+qTn=qb1+q(b1+b2)+…+q(b1+b2+…+bn)=b2+(b2+b3)+…+(b2+b3+…+bn+1).

應用錯位相減得:(1-q)σn′=nb1-qTn,

最終求得σ′n=(nb1-qTn)/(1-q).

當an不為1時，則σn=a1T1+a2T2+…+anTn=a1b1+a2(b1+b2)+…+an(b1+b2+…+bn),

所以qσn=qa1T1+qa2T2+…+qanTn=qa1b1+qa2(b1+b2)+…+qan(b1+b2+…+bn)=a1b2+a2(b2+b3)+…+an-1(b2+b3+…+bn)+qanTn.

錯位相減得到：(1-q)σn=(a1+a2+…+an)b1+d[b2+(b2+b3)+…+(b2+b3+…+bn)]-qanTn=(Sn-nd)b1+dσn′-qanTn.

經整理后σn=[(Sn-nd)b1-qanTn]/(1-q)+[d(nb1-qTn)]/(1-q)2.

題型三 求數列{Snbn}的前n項和σn，其中Sn是以公差為d的等差數列an的前n項和，bn是以q(q≠1)為公比的等比數列．σn=S1b1+S2b2+…+Snbn，所以qσn=qS1b1+qS2b2+…+qSnbn.

由于an=Sn-Sn-1，所以上述兩式相減得到

(1-q)σn=a1b1+a2b2+…+anbn-Snbn+1.

根據題型一可得到σn=(a1b1-anbn+1)/(1-q)2+dq(b1-bn)/(1-q)3-Snbn+1/(1-q).

題型四 求數列{SnTn}的前n項和σn，其中Sn是以q1(q1≠1)為公比的等比數列b1n的前n項和，Tn是以q2(q2≠1)為公比的等比數列b2n的前n項和．

σn=S1T1+S2T2+…+SnTn,

則qσn=qS1T1+qS2T2+…+qSnTn.

上式相減得到(1-q)σn=(S1+S2+…+Sn)b1+(S2-S1)b2+…+(Sn-Sn-1)(b2+b3+…+bn)-q2SnTn=(S1+S2+…+Sn)b1+a2(T2-b1)+…+an(Tn-b1)-q2SnTn=(S1+S2+…+Sn)b1+(a1T1+a2T2+…+anTn)-Snb1-q2SnTn=(S1+S2+…+Sn-1)b1+(a1T1+a2T2+…+anTn)-q2SnTn.所以σn=[(S1+S2+…+Sn-1)b1+(a1T1+a2T2+…+anTn)-q2SnTn]/(1-q).

題型五 求數列{anTn}的前n項和σn，其中an是以q1(q1≠1)為公比的等比數列，Sn為其前n項和，Tn是以q2(q2≠1)為公比的等比數列bn的前n項和．

σn=a1T1+a2T2+…+anTn,

則q1σn=q1a1T1+q1a2T2+…+q1anTn=a2b1+a3(b1+b2)+a4(b1+b2+b3)+…+an(b1+b2+…+bn-1)+an+1Tn.

“錯位相減法”在數列中的應用十分重要與廣泛，歸根結底，是用最基本的“加、減、乘、除”來解決復雜冗長的數列問題.我們在解題過程中也應避免生搬硬套公式和解題方法，應學會靈活運用，巧妙解題.

[1]王躍進，牛偉強.一道值得探究的高考壓軸題[J].中學數學教學參考(下旬)，2010(3)

[2]王新星.例談高考數列中的不等式證明[J].高中數學教與學，2009(4)

[3]侯國亮.淺論如何應用差分方程求數列的通項公式[J].吉林省教育學院學報，2012(5)

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