與兩定圓相切的動圓圓心的軌跡問題

詹長剛 ●

湖南省常德市第一中學(415000)

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與兩定圓相切的動圓圓心的軌跡問題

詹長剛 ●

湖南省常德市第一中學(415000)

與兩定圓相切的動圓圓心的軌跡問題是解析幾何中的一類常見問題，它與兩定圓的位置關系、半徑大小及相切類型均有關，情形較多.本文探討該類問題的一些常見情形及解法.

一、動圓與兩定圓均外切

(1)兩定圓半徑大小不相等

①兩圓外離：軌跡為雙曲線的一支(靠近半徑較小的一側)

例1 動圓P與定圓C1:(x+2)2+y2=1和C2:(x-2)2+y2=4均外切，求P點的軌跡.

②兩圓外切或相交：軌跡為雙曲線在兩定圓外的部分.

③兩圓內切：軌跡為一條自切點在兩圓心連線上向外引出的射線.

例2 動圓P與定圓C1:(x+2)2+y2=1和C2:x2+y2=9均外切，求P點的軌跡.

解 ∵r2-r1=|C1C2|=2，則兩圓內切，如圖2，由圖易得所求軌跡為射線，其方程為y=0(x<-3).

(2)兩定圓半徑大小相等

①兩圓外離：軌跡為兩定圓圓心連線的中垂線.

例3 動圓P與定圓C1:(x+2)2+y2=1和C2:(x-2)2+y2=1均外切，求P點的軌跡.

解 如圖3，易得P點的軌跡為y軸， 其方程為x=0.

②兩圓外切或相交：軌跡為兩定圓圓心連線的中垂線在兩定圓外的部分.

二、動圓與兩定圓均內切

(1)兩定圓半徑大小不相等

①兩圓外離或外切：軌跡為雙曲線的一支(靠近半徑較大的一側).

例4 動圓P與定圓C1:(x+2)2+y2=1和C2:(x-2)2+y2=4均內切，求P點的軌跡.

說明:與例1綜合可以發現，均外切和均內切合在一起即為整個雙曲線的兩支.

②兩圓相交：軌跡為雙曲線的一支和另一支夾在兩定圓之間的部分.

例5 動圓P與定圓C1:(x+2)2+y2=1和定圓C2:(x-2)2+y2=16均內切，求P點的軌跡.

③兩圓內切：軌跡為自切點引出且過圓心的射線(除去兩定圓圓心).

例6 動圓P和定圓C1:(x-1)2+y2=1和定圓C2:(x-2)2+y2=4均內切，求P點的軌跡.

解 如圖6，P點的軌跡為y=0(x>0,x≠1,x≠2).

(2)兩定圓半徑大小相等.

無論外離或外切或相交：軌跡為兩定圓圓心連線的中垂線(除去切點或交點)

三、動圓與兩定圓一個外切，一個內切

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? ①兩圓外離：軌跡為雙曲線(無論兩定圓半徑大小如何).

例7 動圓P和定圓C1:(x-2)2+y2=1內切， 和圓C2:(x-2)2+y2=4外切，求P點的軌跡.

說明 若動圓P與圓C1外切，和圓C2內切，則其軌跡為上雙曲線對應的右支.

②外切：軌跡為一條射線(除去定圓圓心和兩圓切點).

③相交：軌跡為雙曲線的一支(在某定圓內的部分).

④內切：軌跡為一橢圓(除去切點).

例8 動圓P和定圓C1:(x-1)2+y2=1外切， 和圓C2:(x-2)2+y2=4內切，求P點的軌跡.

⑤內含：軌跡為橢圓.

說明 此種情況，無論半徑大小，情況一樣，因為具體與哪個圓內切不確定.

綜上所述，解決與兩定圓相切的問題，應當首先確定兩定圓的半徑的大小關系，然后判斷兩定圓的位置關系，最后是動圓與兩定圓的相切類型，由圓錐曲線的定義求軌跡方程，注意排除不合要求的點.

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1008-0333(2016)28-0028-02