論述高中數(shù)學(xué)數(shù)列學(xué)習(xí)中換元法的應(yīng)用

胡遠(yuǎn)晨●

湖南省長沙市一中(410000)

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論述高中數(shù)學(xué)數(shù)列學(xué)習(xí)中換元法的應(yīng)用

胡遠(yuǎn)晨●

湖南省長沙市一中(410000)

換元法在高中數(shù)學(xué)數(shù)列的學(xué)習(xí)中占有很重要的地位，數(shù)列又是我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點，就數(shù)列本身而言，它與其它章節(jié)的知識點又具有十分密切的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種特殊的函數(shù)，也就成為我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點之一.換元法的使用可以使問題變得標(biāo)準(zhǔn)化、簡單化，為我們解決數(shù)列問題提供極大的方便.

高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；換元法；應(yīng)用

換元法又可以稱為輔助元素法或變量代換法，它通過構(gòu)造元和設(shè)元、等量替換等方法引入新的變量將問題中分散的條件聯(lián)系起來，暗含的條件顯露出來，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式，使問題變得標(biāo)準(zhǔn)化、簡單化，變得容易處理.

換元法的種類有：等參量換元、非等參量還原.使用換元法時，一定要注意，簡便，準(zhǔn)確的原則，進(jìn)行有利運算，還要注意的是，換元后所選取的新變量的范圍.必須在新取值范圍對應(yīng)原數(shù)值變量的取值范圍.換元法可以解決不等式、方程、函數(shù)、數(shù)列核三角函數(shù)等問題，同學(xué)們通過使用換元法解決數(shù)學(xué)問題，一方面可以提高解題的效率，另一方面可以培養(yǎng)我們解題的能力.本文就換元法在數(shù)列學(xué)習(xí)中的應(yīng)用進(jìn)行簡單的論述.

1.換元法求遞推數(shù)列的通項公式

通常數(shù)列{an}的遞推式為pan+1+qan+ran-1+s=0(p、q、r≠0)，在解題時，(1)p+q+r=0的情況，通過變形用換元法易求得該數(shù)列的通項公式；(2)p+q+r≠0的情況，①當(dāng)s=0時，在原遞推式的兩邊同時加上λan進(jìn)行求解，②當(dāng)s≠0時，在原遞推式的兩邊同時加上λan+μ，然后再經(jīng)過各種變形整理求得該數(shù)列的通項公式.

例1 解方程(x2-2x)2-3(x2-2x)-4=0.

解 設(shè)x2-2x=y，則原方程變?yōu)閥2-3y-4=0,(y-4)(y+1)=0,y-4=0或y+1=0,y1=4，y2=-1.

當(dāng)y=-1時，x2-2x=-1,解得x3=x4=1.

2.整體換元思想在數(shù)列中的應(yīng)用

整體換元思想在數(shù)列中結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的性質(zhì)對于題目中給出條件較少的，或者無法直接進(jìn)行求解的，可以利用換元法將局部構(gòu)造成便于求解的式子或?qū)⒁蟮氖阶佑妙}目中已知的式子整體表示出來對題目進(jìn)行解答.還有一種就是直接對前n項的和進(jìn)行整體換元，例如將a1+a2+a3+……+an設(shè)為x后再對題目進(jìn)行解答.在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，整體換元的思維解題能力十分重要，通過整體換元思想可以降低題目的分析難度，大大縮短解題所用的時間，使同學(xué)們在整個題的思維進(jìn)行分析和把握，思維能力更加靈活.

例2 已知等差數(shù)列{an} 的前12項和為354，前12項中奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比為27∶32，求公差d.

所以S奇-S偶=6d=30，解的d=5.

3.用結(jié)論換元法求三角數(shù)列的和與積

(1)用結(jié)論換元法求三角數(shù)列前n項和的公式的基本步驟：首先將結(jié)果設(shè)為Sn，然后將S0和Sn-Sn-1求出來，再把Sn-Sn-1中的n分別令為1，2， 3，…，n，最后將上一步所有式子加起來即為所求的三角數(shù)列前n項的和.

(2)用結(jié)論換元法求三角數(shù)列前n項積的公式的基本步驟：首先將結(jié)果設(shè)為Sn，然后將Sn/Sn-1求出來，再把Sn/Sn-1中的n分別令為1，2， 3，…，n，最后將上一步所有式子乘起來即為所求的三角數(shù)列前n項的積.

例3 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2，某三角形三邊之比為a2∶a3∶a4，求該三角形最大角.

綜上所述，換元法在解一些復(fù)雜的因式分解問題，即對結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的多項式，若把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替(即換元)，則能使復(fù)雜的問題簡單化，明朗化，在減少多項式項數(shù)，降低多項式結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度等方面有獨到作用，數(shù)列學(xué)習(xí)階梯比較復(fù)雜，使用換元法能夠使數(shù)列解法更加簡單，解題便捷.

[1] 張煥明.用結(jié)論換元法求三角數(shù)列的和[J].浙江安吉中學(xué)，2005(6)

[2] 陳健.還原法求一類遞推數(shù)列的通項公式[J].福建莆田第五中學(xué)，2004

[3] 戴元濤.整體換元思維在數(shù)列中的應(yīng)用[J].深證市坪山高級中學(xué)，2010(3)

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