四面體外接球的半徑求法

李海玲●

新疆巴州馬蘭中學(xué) (841700)

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四面體外接球的半徑求法

李海玲●

新疆巴州馬蘭中學(xué) (841700)

四面體的外接球問(wèn)題，作為高考的一個(gè)常考知識(shí)點(diǎn)，在歷年高考題及多地模擬試題中總能見(jiàn)到它的身影，在此將四面體外接球的問(wèn)題做一說(shuō)明.

一、任意四面體外接球的存在性

我們知道，任一三角形都存在外接圓，且三角形外接圓的圓心是三角形各邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn).是不是四面體也存在相似的性質(zhì)呢？

已知：四面體ABCD，△ABD的外心為O1，△BCD的外心為O2，EO1⊥面ABD，F(xiàn)O2⊥面BCD.

求證：EO1與PO2相交于一點(diǎn)O，O到各頂點(diǎn)距離相等.

設(shè)O1E∩O2F=0(顯然O1E與O2F不可能重合或平行)，則O點(diǎn)到A、B、C、D各點(diǎn)距離相等.

因?yàn)镺∈O1E，所以O(shè)點(diǎn)到A、B、D三點(diǎn)距離相等(★).

O∈O2F知點(diǎn)O到B、C、D三點(diǎn)距離相等,

所以O(shè)點(diǎn)到A、B、C、D四項(xiàng)點(diǎn)距離相等.

由此可知，點(diǎn)O為四面體ABCD的外接球的球心，從而證明了任意四面體都有外接球.

二、常見(jiàn)題型分析

題型1 出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體.

題型2 出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論.

原理 直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半，球心為直角三角形斜邊中點(diǎn).

題型3 出現(xiàn)多個(gè)垂直關(guān)系時(shí)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解.

例題3 已知在三棱錐A-BCD中，AD⊥面ABC，∠BAC=120°，AB=AD=AC=2，求該棱錐的外接球半徑.

題型4 四面體是正四面體

已知正四面體A-BCD，H為底面的中心，O為外接球的球心，設(shè)棱長(zhǎng)為a，外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，試求R.

[1]趙光明.任意四面體外接球半徑的計(jì)算公式[J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究,1988(06)

[2]賈玉友.正四面體外接球的幾個(gè)不變量[J].數(shù)學(xué)通訊,2001(03)

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