立體幾何中的軌跡問題

方炫蘇●

武漢理工大學(xué)理學(xué)院(430070)

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立體幾何中的軌跡問題

方炫蘇●

武漢理工大學(xué)理學(xué)院(430070)

在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題是高考命題改革的一個(gè)方向，以空間問題為背景的軌跡問題作為解析幾何與立體幾何的交匯點(diǎn)，由于知識(shí)點(diǎn)多，數(shù)學(xué)思想和方法考查充分，求解比較困難.通常要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力，以及能夠把空間問題轉(zhuǎn)化到平面上，再結(jié)合解析幾何方法求解.以下精選幾個(gè)問題來對(duì)這一問題進(jìn)行探討，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法.

一、用空間運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來得到點(diǎn)的軌跡.

例1 直線PA是平面M的一條斜線，斜足為A，動(dòng)直線PB過點(diǎn)P且與直線PA垂直，且交平面M于點(diǎn)B，求動(dòng)點(diǎn)B的軌跡.

解 先探討直線PB的運(yùn)動(dòng)軌跡，由于直線PB始終與PA垂直，可知PB的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)是直線PA的垂直平面N.再結(jié)合點(diǎn)B一定在平面M內(nèi)，所以點(diǎn)B的軌跡應(yīng)該是兩個(gè)平面的交線，所以點(diǎn)B的軌跡是一條直線.

針對(duì)以上解法，我們對(duì)這一問題作一深層次的探討：若直線PA與平面M成α角，直線PB始終與直線PA成β角，再來求點(diǎn)B的軌跡.

由上述解法可知，我們只要得到直線PB的空間軌跡，再來考查該軌跡與平面M的交線即可.由簡單的模型模擬即可知，直線PB的軌跡是一個(gè)圓錐面，再用一個(gè)平面截圓錐面，這一知識(shí)在平面解析幾何中圓錐曲線的來歷中有提到，即所得曲線可能是圓、橢圓、拋物線、雙曲線.因此，我們有以下命題：

直線PA是平面M的一條斜線，且與平面M成α角，斜足為A，動(dòng)直線PB過點(diǎn)P且與直線PB成β角，交平面M于點(diǎn)B，求動(dòng)點(diǎn)B的軌跡.

結(jié)論：(1)若α=90°，β≠90°，則動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是一個(gè)圓；

(2)若α≠90°，β=90°，動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是一條直線；

(3)若α≠90°，β≠90°，則

①若90°>α>β，則軌跡是橢圓；

②若α=β，則軌跡是拋物線；

③若α<β，則軌跡是雙曲線.

用上面的觀點(diǎn)我們來看下一例：

例2 已知平面α∥平面β，直線l?α，點(diǎn)P∈l，平面α、β間的距離為8，則在β內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10且到直線l的距離為9的點(diǎn)的軌跡是( ).

A.一個(gè)圓 B.兩條直線 C.四個(gè)點(diǎn) D.兩個(gè)點(diǎn)

解 空間中到直線的距離為定值的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓柱，平面與圓柱的交線是兩條直線.空間中到一點(diǎn)的距離為定值的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)球面，平面與球面的交線是一個(gè)圓.在平面內(nèi)兩條直線與一個(gè)圓的公共點(diǎn)結(jié)合具體數(shù)據(jù)，可知，軌跡是四個(gè)點(diǎn).

變式訓(xùn)練1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M是棱CD的中點(diǎn)，點(diǎn)O是側(cè)面AA1D1D的中心，若點(diǎn)P在側(cè)面BB1C1C及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持OP⊥AM，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是____.

變式訓(xùn)練2 兩根直立的旗桿相距14米，高分別是6米和8米，地面上的點(diǎn)P到兩根旗桿頂?shù)难鼋窍嗟?，則點(diǎn)P在地面上的軌跡是( ).

A.直線 B.圓 C.橢圓 D.拋物線

變式訓(xùn)練3 直線m與平面α間的距離為h，那么到直線m與平面α的距離都為2h的點(diǎn)的集合為( ).

A.一個(gè)平面 B.一條直線 C.空集 D.兩條直線

變式訓(xùn)練4 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是( ).

A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線

變式訓(xùn)練5 如圖，定點(diǎn)A和B都在平面α內(nèi)，定點(diǎn)P?α，PB⊥α，C是α內(nèi)異于點(diǎn)A和點(diǎn)B的動(dòng)點(diǎn)，且PC⊥AC，那么動(dòng)點(diǎn)C在平面α內(nèi)的軌跡是( ).

A.一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

B.一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

C.一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

D.半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

二、用解析的方法來求軌跡

空間解析幾何雖然不是高考要求，但空間向量的應(yīng)用以及空間坐標(biāo)系的使用對(duì)于立體幾何問題的解決也引入了解析的方法，對(duì)于軌跡的處理，同學(xué)們還是熟悉平面內(nèi)的問題.因此把空間問題平面化，正是空間解析法中的重要應(yīng)用.

例3 空間四面體ABCD中，在側(cè)面ABC上有一動(dòng)點(diǎn)P，滿足P到直線AB的距離與P到平面BCD的距離相等，試求P點(diǎn)的軌跡.

解 點(diǎn)P到平面的距離與點(diǎn)P到直線BC的距離的比例關(guān)系正是二面角的A-BC-D的平面角的正弦值.因此，在平面ABC內(nèi)，點(diǎn)P滿足的條件是P到直線AB的距離與P到直線BC的距離成比例.因此點(diǎn)P的軌跡是一條過B點(diǎn)的直線.

例4 正方體ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面ABB1A1內(nèi)有一點(diǎn)P滿足：點(diǎn)P到直線AB的距離與點(diǎn)P到直線AD1的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡.

所以軌跡是兩條直線.

例5 圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若AM⊥MP，則P點(diǎn)形成的軌跡的長度為( ).

用平面解析幾何的方法來處理空間中的軌跡問題的關(guān)鍵有二條，一條是空間問題平面化，要把題中的條件想辦法轉(zhuǎn)化到平面上來，另一個(gè)關(guān)鍵是把平面內(nèi)的問題盡可能地解析化，用數(shù)量關(guān)系來研究幾何關(guān)系，從而得到軌跡，當(dāng)然在解析幾何中也有很多數(shù)與形相結(jié)合的題型.因此以空間圖形為背景，考查幾何軌跡的典型例題很多時(shí)候也是這個(gè)方面的問題.

A.拋物線 B.雙曲線 C.直線 D.以上都不對(duì)

變式訓(xùn)練7 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，線段EF的兩端點(diǎn)分別在棱A1D1、AB上滑動(dòng)，且EF=2，則EF的中點(diǎn)的軌跡是( ).

A.圓弧 B.橢圓的一部分

C.雙曲線的一部分 D.拋物線的一部分

變式訓(xùn)練8 如圖，△ADP為正三角形，四邊形ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，M為平面ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足MP=MC，則M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為(O為正方形ABCD的中心)( ).

變式訓(xùn)練9 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是四邊形A1B1C1D1內(nèi)部及其邊界上的動(dòng)點(diǎn)，若異面直線AP與A1B1所成的角始終保持π/6，則點(diǎn)P軌跡的形狀是 ( ).

A. 圓 B.橢圓 C. 雙曲線 D.拋物線

變式訓(xùn)練11 在棱長為1的正方體中ABCD=A1B1C1D1，M、N分別是AC1、A1B1的中點(diǎn)．點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則總能使MP與BN垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡的周長等于____．

以上二種題型只是空間背影下的動(dòng)點(diǎn)軌跡的處理方法的兩種典型，空間的動(dòng)點(diǎn)要用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)觀察，要求熟悉一些常見的幾何模型，利用曲面與曲面的相交情況來得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，另一方面，利用數(shù)與形相結(jié)合的方法，用解析的方法來研究空間軌跡，也是立體幾何的主要思想，把立體問題平面化來簡化問題，從而為我們用平面解析幾何的方法來研究空間問題提供方便，更為空間解析幾何的思想在立體幾何中的應(yīng)用做好準(zhǔn)備.

變式訓(xùn)練答案

1.線段BB12.B 3.D 4.D 5.B 6.A

G632

B

1008-0333(2016)28-0019-02