小題以大做 思維得發散
——如何求異面直線所成的角

楊 虎 趙永全●

甘肅省禮縣職業中等專業學校(742200)

?

小題以大做 思維得發散
——如何求異面直線所成的角

楊 虎 趙永全●

甘肅省禮縣職業中等專業學校(742200)

在平時的教學中，有這樣一些“小”題目，文字敘述少，題干短小，言簡意賅，但內涵雋永，意味深邃.對這類題目進行深層次挖掘，多角度探索，會發現解法多變而靈活，對訓練學生的發散思維有很大的幫助.本文就從學生資料中的一道求異面直線所成的角的小題——“小題大做”，來體會如何求異面直線所成的角.

一、題目再現

異面直線所成的角，是由空間一點分別引它們的平行線所成的銳角(或直角)來定義的.因此，在教學中要求異面直線所成的角時通常要引導學生，通過平移直線形成角，進而在某個平面中得到異面直線所成角；或者利用三垂線定理進行線線之間的轉化來解決問題.

隨著新課改的深入，新教材(特別是人教B版)對立體幾何的處理有了一些新的變化，淡化了對學生作圖能力的要求，特別是引進了空間向量的方法(實際上是把空間問題代數化)，避開了一些繁雜的作圖，其中在求異面直線所成的角中運用空間向量的方法有很大的優點.即建立空間直角坐標系，利用向量的代數運算及幾何性質求解.下面就這道小題，從平移、利用三垂線定理以及向量法等角度進行探索求解.

二、解法探索

思路一：利用平移轉化

于是∠AB1D=90°.

則異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

點評 觀察直線AB1與BC1的位置，將BC1平移，即過點B1作B1D∥C1B交CB的延長線于點D，即可得到異面直線AB1與BC1所成的角.

解法2 如圖3，取B1B的中點E，過點E作ME∥AB1，NE∥BC1，則M,N分別是AB,B1C1的中點，取BC的中點D，連接MD,ND，于是，∠MEN即為AB1與BC1所成的角.

于是cos∠MEN

于是∠MEN=90°.

則異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

點評 取B1B的中點E，將直線AB1與BC1平移到E處，即可得到異面直線AB1與BC1所成的角.

思路二：利用三垂線定理

解法3 如圖4，取BC的中點D，連接AB1,B1D， 由正三棱柱ABC-A1B1C1知，AD⊥BC，于是AD⊥平面BB1C1C.

又因為B1D為A1B在面BCC1B1內的射影，所以AB1⊥BC1.

于是異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

點評 從AB1是平面BB1C1C的斜線入手，尋找AB1在平面內的射影與BC1的關系，由三垂線定理證明異面直線垂直.

解法4 如圖5，取A1B1的中點E，連接C1E,BE，由正三棱柱ABC-A1B1C1知，C1E⊥平面A1B1BA.

于是異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

點評 本解法與解法3相似，只是所選取的斜線

?

?與平面不同而已.

思路三：利用向量

點評：通過建立空間直角坐標系，把向量用坐標形式來表示，通過計算向量的數量積，便可知其異面直線AB1與BC1垂直.

于是異面直線AB1與BC1所成的角是90°.

三、解后反思

通過對這道小題的探索發現，從不同的角度看待問題會有不同的求解方法，這對培養學生的發散思維是有益的.在本題解法中，思路一與思路二要求學生有良好的作圖能力，且能夠在作圖后在所需要的三角形中計算出各條線段的長度，從而達到求解目的.而思路三只需建立空間直角坐標系，標出相應的點的坐標，從而得到所需向量的坐標，來求出兩個向量的夾角，即所求的兩條直線所成的角.另外，對異面直線所成的角的求法我們還可以借用一些固定的模型，引用一些已知的公式來求出角的大小.

G632

B

1008-0333(2016)28-0008-02