解決立體幾何的三種方法

朱小扣●

安徽省無為縣牛埠中學(238351)

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解決立體幾何的三種方法

朱小扣●

安徽省無為縣牛埠中學(238351)

立體幾何是高考的重要考點之一，筆者現對其解答方法做如下探討：

一、顛倒法

解 根據題設條件，可以將圖1顛倒成圖2.首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在的兩定點，使得點P到兩點距離的和為定值.

按題意有A(-2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(-2，4a)

直線OF的方程為：

2ax+(2k-1)y=0

①

直線GE的方程為：

-a(2k-1)x+y-2a=0

②

從①，②消去參數k，得點P(x,y)坐標滿足方程2a2x2+y2-2ay=0后面過程略.

筆者參加過2003年安徽高考，發現原圖是圖1，而后的各種參考資料都直接把圖2放在題目的后面，這就會讓學生認為這題很簡單，其實，學生要用圖1做的話難度會加大，又如例二.

例2 (2013年安徽卷理科19題)

如圖3，圓錐頂點為P.底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°.AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°，

(Ⅰ)證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；

(Ⅱ)求cos∠COD.

解析 可以將圖3顛倒成圖4，這個問題就很簡單.我考試后也找學生了解過，做不出來主要是倒的圓錐在平時考試中沒見過.通過顛倒法就可以讓學生在短時間內將題目進行化歸從而找到解答的方法.

評析 從2003到2013年，真是十年相似兩茫茫.筆者估計以后的高考也會出類似的考題.雖然顛倒法簡單，但是想到的卻不多，真是大道無門啊！顛來倒去是本身，只有充分理解事物的本質，才能運用好顛倒法.

二、補形法

例3 (2013年全國新課標Ⅱ卷理科7題)一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為( )

解

將其補出正方形框架(虛線)，則它在zOx平面的投影為

，故答案A.又如下例：

例4 (2012年安徽“江南十校”理科19題)如圖6，在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABG,平面ADF,平面CDE都與平面ABCD垂直，且ΔABG,ΔADF,ΔCDE都是正三角形.

(Ⅰ)求證：AC//EF

(Ⅱ)求多面體ABCDEFG的體積

只要將原圖補成長方體ABCD-A1B1C1D1如圖7就可以秒殺這一題

解 依題意可將原圖補成長方體ABCD-A1B1C1D1,可得，E,F,G是所在棱的中點.

(1)證：連接A1C1,∵ABCD-A1B1C1D1是長方體，E，F分別是C1D1,A1D1的中點,

∴EF//A1C1.

又∵A1C1//AC,∴EF//AC.

V多面體ABCDEFG=V長方體ABCD-A1B1C1D1

-V三棱柱BB1G-CC1E-V三棱錐D-D1EF-V三棱錐A-A1C1F

此題給的標準答案雖然不是用補形法做的，但是命題者應該是從長方體的角度構建的，補形之后這題一目了然.

評析 通過補形法可以彌補學生空間想象能力的不足，讓學生充分理解局部和整體的聯系，必須見微知著，做到窺一斑而知全豹,這樣才能更好理解題目，才能更好的運用補形法.

三、旋轉法

例5 點P為正方形ABCD內一點,若PA=1,PB=2,PC=3,求正方形ABCD的邊長.

解析 只要將ΔBPC繞著B點逆時針旋轉900到ΔBP′A就可以做出來了，這是在平面的應用，在空間中舉例如下

例6 一個三棱錐棱長分別為1，1，1，1，1，a.求a的范圍.

通過旋轉這一題就完美的解決了，又如例7.

例7 (2010年遼寧卷理科12)有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是( )

用這種方法還可以解決如下題：

評析 通過旋轉可以達到動態與靜態的結合，平面與立體的結合.所謂的一靜一動謂之道，在旋轉的過程中我們才能更好發覺題目的內涵，才能更好的認識事物的本質與規律.

遇到立體幾何問題時，原則上可以用上面三種方法解決.三種方法的運用能很好的鍛煉學生的思維.與此同樣重要的是，要能靈活運用，不能刻板，知識多是交織的，所以有時要用多種方法結合才能解決，正所謂：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”.要想學好數學我們還是要做一名樂之者.

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